【bozj 1925】[Sdoi2010]地精部落 (dp)
1925: [Sdoi2010]地精部落
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Description
传说很久以前,大地上居住着一种神秘的生物:地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说,一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段,每段有一个独一无二的高度 Hi,其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高,则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉,其他都有两段(即左边和右边)。 类似地,如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低,则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒,酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸,地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。
地精还是一种非常警觉的生物,他们在每座山峰上都可以设立瞭望台,并轮 流担当瞭望工作,以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一,只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道,长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i,使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大,你只对它 除以P的余数感兴趣。
Input
仅含一行,两个正整数 N, P。
Output
仅含一行,一个非负整数,表示你所求的答案对P取余 之后的结果。
Sample Input
4 7
Sample Output
3
HINT
对于 20%的数据,满足 N≤10;
对于 40%的数据,满足 N≤18;
对于 70%的数据,满足 N≤550;
对于 100%的数据,满足 3≤N≤4200,P≤109
Source
【题解】【dp】
【题解来源hxy:
f[n][k] 表示n个数,最后一个为k且最后两个数递增的方案数。
g[n][k] 表示n个数,最后一个为k且最后两个数递减的方案数。
f[n][k]=sigma(i=1...k-1)g[n-1][i]
因为f[n][k]=g[n][n+1-k] (相当于把递增序列转换成递减数列,根据对称性可以直接等价)
所以f[n][k]=sigma(i=1..k-1) f[n-1][n-i]
=sigma(i=n-k+1..n-1) f[n-1][i]
f[n][k-1]=sigma(i=n-k+2..n-1) f[n-1][i]
f[n][k]-f[n][k-1]=f[n-1][n-k+1]
所以整理得到递推公式 f[n][k]=f[n][k-1]+f[n-1][n-k+1]
因为这道题卡内存,所以需要用滚动数组。】
[orz hxy]
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,p,ans;
int f[2][4210];
int main()
{
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&p);
if(n==1) {printf("1\n"); return 0;}
f[1][1]=1;
for(i=2;i<=n;++i)
for(j=1;j<=i;++j)
{
int x=i%2;
f[x][j]=(f[x][j-1]+f[x^1][i-j+1])%p;
}
for(i=1;i<=n;++i) ans+=f[n%2][i],ans%=p;
printf("%d\n",(ans*2)%p);
return 0;
}
既然无能更改,又何必枉自寻烦忧