【bzoj 1699 & 1636】【POJ 3264】Balanced Lineup（st表|RMQ）
1699: [Usaco2007 Jan]Balanced Lineup排队
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Description
每天,农夫 John 的N(1 <= N <= 50,000)头牛总是按同一序列排队. 有一天, John 决定让一些牛们玩一场飞盘比赛. 他准备找一群在对列中为置连续的牛来进行比赛. 但是为了避免水平悬殊,牛的身高不应该相差太大. John 准备了Q (1 <= Q <= 180,000) 个可能的牛的选择和所有牛的身高 (1 <= 身高 <= 1,000,000). 他想知道每一组里面最高和最低的牛的身高差别. 注意: 在最大数据上, 输入和输出将占用大部分运行时间.
Input
* 第一行: N 和 Q. * 第2..N+1行: 第i+1行是第i头牛的身高.
* 第N+2..N+Q+1行: 两个整数, A 和 B (1 <= A <= B <= N), 表示从A到B的所有牛.
Output
*第1..Q行: 所有询问的回答 (最高和最低的牛的身高差), 每行一个.
Sample Input
1
7
3
4
2
5
1 5
4 6
2 2
Sample Output
3
0
HINT
Source
ST表学习
作用：ST算法是用来求解给定区间RMQ的最值，本文以最小值为例
举例：
给出一数组A[0~5] = {5,4,6,10,1,12},则区间[2,5]之间的最值为1。
方法：ST算法分成两部分：离线预处理 （nlogn）和 在线查询（O(1)）。虽然还可以使用线段树、树状链表等求解区间最值，但是ST算法要比它们更快，而且适用于在线查询。
（1）离线预处理：运用DP思想，用于求解区间最值，并保存到一个二维数组中。
（2）在线查询：对给定区间进行分割，借助该二维数组求最值
具体解释：
（1）离线预处理：
ST算法使用DP思想求解区间最值，貌似属于区间动态规划，不过区间在增加时，每次并不是增加一个长度，而是使用倍增的思想，每次增加2^i个长度。
使用F[i,j]表示以i为起点，区间长度为2^j的区间最值，此时区间为[i,i + 2^j - 1]。
比如，F[0,2]表示区间[0,3]的最小值，即等于4，F[2,2]表示区间[2,5]的最小值，即等于1。
在求解F[i,j]时，ST算法是先对长度为2^j的区间[i,i + 2^j - 1]分成两等份，每份长度均为2^(j - 1)。之后在分别求解这两个区间的最值F[i,j - 1]和F[i + 2^(j - 1),j - 1]。，最后在结合这两个区间的最值，求出整个区间的最值。特殊情况，当j = 0时，区间长度等于0，即区间中只有一个元素，此时F[i,0]应等于每一个元素的值。
举例：要求解F[1,2]的值，即求解区间[1,4] = {4,6,10,1}的最小值，此时需要把这个区间分成两个等长的区间，即为[1,2]和[3,4]，之后分别求解这两个区间的最小值。此时这两个区间最小值分别对应着F[1,1] 和 F[3,1]的值。
状态转移方程是 F[i,j] = min(F[i,j - 1],F[i + 2^(j - 1),j - 1])
初始状态为：F[i,0] = A[i]。
在根据状态转移方程递推时，是对每一元素，先求区间长度为1的区间最值，之后再求区间长度为2的区间最值，之后再求区间长度为4的区间最值....，最后，对每一个元素，在求解区间长度为log2^n的区间最值后，算法结束，其中n表示元素个数。
即：先求F[0][1]，F[1][1]，F[2][1]，F[3][1]，,，F[n][1]，再求.F[0][2]，F[1][2]，F[2][2]，F[3][2]，,，F[m][2]，... 。
（2）在线处理：这里我们是已知待查询的区间[x,y]，求解其最值。
在预处理期间，每一个状态对应的区间长度都为2^i。由于给出的待查询区间长度不一定恰好为2^i，因此我们应对待查询的区间进行处理。
这里我们把待查询的区间分成两个小区间，这两个小区间满足两个条件：（1）这两个小区间要能覆盖整个区间（2）为了利用预处理的结果，要求小区间长度相等且都为2^i。注意两个小区间可能重叠。
如：待查询的区间为[3,11]，先尽量等分两个区间，则先设置为[3,7]和[8,11]。之后再扩大这两个区间，让其长度都等于为2^i。刚划分的两个区间长度分别为5和4，之后继续增加区间长度，直到其成为2^i。此时满足两个条件的最小区间长度为8,此时i = 3。
在程序计算求解区间长度时，并没有那么麻烦，我们可以直接得到i，即等于直接对区间长度取以2为底的对数。这里，对于区间[3,11]，其分解的区间长度为int（log(11 - 3 + 1)） = 3，这里log是以2为底的。
根据上述思想，可以把待查询区间[x，y]分成两个小区间[x，x + 2^i - 1] 和 [y - 2^i + 1，y] ，其又分别对应着F[x,i]和F[y - 2^i + 1,i]，此时为了求解整个区间的最小值，我们只需求这两个值得最小值即可，此时复杂度是O(1)。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int f1[50010][20],f2[50010][20],a[50010];
int n,q;
int main()
{
int i,j;
scanf("%d%d",&n,&q);
memset(f2,127,sizeof(f2));
for (i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
f2[i][0]=f1[i][0]=a[i];
}
for (j=1;j<20;j++)
for (i=1;i<=n;i++)
if (i+(1<<(j-1))<=n)
{
f1[i][j]=max(f1[i][j-1],f1[i+(1<<(j-1))][j-1]);
f2[i][j]=min(f2[i][j-1],f2[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
for (i=1;i<=q;i++)
{
int x,y,k=0,ans1=0,ans2=0,ans=0;
scanf("%d%d",&x,&y);
while ((1<<k)<=(y-x+1))
k++;
k--;
ans1=max(f1[x][k],f1[y-(1<<k)+1][k]);
ans2=min(f2[x][k],f2[y-(1<<k)+1][k]);
ans=ans1-ans2;
printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
