【bzoj 2705】【codevs 2315】[SDOI2012]Longge的问题（莫比乌斯反演）

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。
Input

一个整数，为N。
Output

一个整数，为所求的答案。
Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=216。

对于100%的数据，0<N<=232。

Source

round1 day1

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**【题解】【莫比乌斯反演】


∑i=1ngcd(i,n)



=∑i=1n∑d=1n[(i,n)=d]d



=∑i=1n∑d|n[d|i][(id,nd)=1]d



=∑d|nd∑i=1n[d|i][(id,nd)=1]

 设i=id;


=∑d|nd∑i=1⌊nd⌋[(i,nd)=1]



=∑d|nd×ϕ(d)

【本题的时间限制过小，若用线性筛求phi，会超时，所以用了一种优化到根号n的算法，由于任何一个合数都至少有一个不大于根号n的素因子，所以只需遍历到根号n即可】**

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,m,phi[1000010];
long long ans;
void excel(int m)
{
    int i,j;
    phi[1]=1;
    for (i=2;i<=m;++i)
      {
        int k=i,l=i;
        for (j=2;j*j<=i;++j)
          if (l%j==0)
            {
                k=k-k/j;
                do{
                    l/=j;
                  }while(l%j==0);
              }
        if (l>1) k=k-k/l;
        phi[i]=k;
      }
    return;
}//预处理一半的phi 
int find(int n)
{
    int i,sum=n;
    for (i=2;i*i<=n;++i)
      if (n%i==0)
       {
        sum-=sum/i;
        do{
            n/=i;
           }while(n%i==0);
       }
    if (n>1) sum=sum-sum/n;
    return sum;
}//根号n的时间内求phi 
int main()
{
    int i,j;
    scanf("%d",&n);
    excel(floor(sqrt(n)));
    for (i=1;i<=floor(sqrt(n));++i)
      if (n%i==0)
       {
        if (i*i!=n)
          ans=ans+(n/i)*phi[i];
        ans=ans+i*find(n/i);
       } 
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}