AtCoder Beginner Contest 212 E - Safety Journey （DP)

• 题意：一张\(n\)个点的完全图，删去\(m\)条边，一共走\(k\)步，问你从起点出发再回到起点一共有多少种方案？

• 题解：设\(dp[i][j]\)表示走了\(i\)步，以\(j\)为终点的方案数，那么状态转移为\(dp[i+1][u]=\sum_{v\in edge[u]} dp[i][v]\).

  此时的代码为(注意此时的\(edge\)表示连着的边):

  for(int i=0;i<k;++i){
      for(int u=1;u<=n;++u){
          for(auto v:edge[u]){
              dp[i+1][u]+=dp[i][v];
          }
      }
  }
  

  因为是完全图，所以时间复杂度为\(O(k*n^2)\).

  但题目给的是删去的边，我们可以将原方程转化一下(此时的\(edge\)表示删去的边)：\(dp[i+1][u]=\sum_{v=1}^{n}dp[i][v]-\sum _{v\in edge[u]}dp[i][v]\).因为删去的边最多只有\(5000\)条,所以此时的时间复杂度为\(O((n+m)*k)\).

• 代码:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod =998244353;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
  
  int n,m,k;
  vector<int> edge[N];
  ll dp[5005][5005];
  
  int main() {
      scanf("%d %d %d",&n,&m,&k);
      for(int i=1;i<=m;++i){
          int u,v;
          scanf("%d %d",&u,&v);
          edge[u].pb(v),edge[v].pb(u);
      }
      dp[0][1]=1;
      for(int i=0;i<k;++i){
          ll sum=0;
          for(int j=1;j<=n;++j) sum=(sum+dp[i][j]+mod)%mod;
          for(int j=1;j<=n;++j){
              dp[i+1][j]=(sum-dp[i][j]+mod)%mod;
              for(auto to:edge[j]){
                  dp[i+1][j]=(dp[i+1][j]-dp[i][to]+mod)%mod;
              }
          }
      }
      printf("%lld\n",dp[k][1]);
      return 0;
  }