2021牛客暑期多校训练营5 J.Jewels (二分图最小权完美匹配)

• 题意:初始你在\((0,0,0)\),有\(n\)个宝藏,每个宝藏的坐标是\((x_i,y_i,z_i)\),每秒你都可以瞬间抓到一个宝藏,但是所有宝藏每秒都会下沉\(v_i\)个单位,那么在\(t\)秒时某个宝藏的坐标为\((x_i,y_i,z_i+t*v_i)\).抓宝藏的贡献为原点到距离的平方.

• 题解:因为每秒都会对应一个宝藏,那么可以把问题抽象成一张二分图,右边的点对应时间,左边对应宝藏,边权就是二者相对应的贡献,那么这就是一个二分图完全最优匹配问题,我们可以使用bfs版的KM算法来解决.

• 代码:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  const ll INF = 1e18;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
  #define int long long
  int n,m;
  int match[N];
  bool visa[N],visb[N];
  int slack[N],la[N],lb[N],wt[505][505];
  int ans;
  int x[N],y[N],z[N],v[N];
  int pre[N];
  int delta;
   
  void bfs(int x){
      int a,y=0,yy=0;
      for(int i=1;i<=n;++i)  pre[i]=0,slack[i]=INF;
      match[y]=x;
      do{
          a=match[y],delta=INF,visb[y]=true;
          for(int b=1;b<=n;++b){
              if(!visb[b]){
                  if(slack[b]>la[a]+lb[b]-wt[a][b]){
                      slack[b]=la[a]+lb[b]-wt[a][b],pre[b]=y;
                  }
                  if(slack[b]<delta) delta=slack[b],yy=b;
              }
          }
          for(int b=0;b<=n;++b){
              if(visb[b]){
                  la[match[b]]-=delta,lb[b]+=delta;
              }
              else slack[b]-=delta;
          }
          y=yy;
      }while(match[y]);
      while(y) match[y]=match[pre[y]],y=pre[y];
  }
   
  void KM(){
      for(int i=1;i<=n;++i) match[i]=la[i]=lb[i]=0;
      for(int i=1;i<=n;++i){
          for(int j=1;j<=n;++j){
              visb[j]=false;
          }
          bfs(i);
      }
      for(int y=1;y<=n;++y){
          ans+=wt[match[y]][y];
      }
  }
   
  signed main() {
      scanf("%lld",&n);
      for(int i=1;i<=n;++i){
          scanf("%lld %lld %lld %lld",&x[i],&y[i],&z[i],&v[i]);
      }
      for(int i=1;i<=n;++i){
          for(int j=1;j<=n;++j){
              wt[i][j]=x[i]*x[i]+y[i]*y[i]+((j-1)*v[i]+z[i])*((j-1)*v[i]+z[i]);
              wt[i][j]=-1ll*wt[i][j];
          }
      }
      KM();
      printf("%lld\n",-ans);
      return 0;
  }