2021牛客暑期多校训练营4 E.Tree Xor (二进制,线段树)

• 题意:有一颗\(n\)个结点的树，每个点都有点权\(w[i]\)，但现在并不知道点权是多少，对于条边\((u,v)\),我们知道\(w[u]\ xor\ w[v]\)的值，以及每个点权的范围\(l[i],r[i]\).

• 题解:先假设\(w'[1]=0\),然后可以线性推出其他\(w'[i]\)的值，在推的过程中不难发现，假如\(w[1]=a\),那么其他\(w[i]\)均要\(xor\)一个\(a\)的值，那么假设真点权\(w[1]=a\),可得\(w[1,2,...,n]=w'[1,2,....,n]\ xor \ a\).即\(w[i]=w'[i]\ xor \ a\).

  而\(l[i]\le w[i]\le r[i]\),所以\(l[i]\le w'[i]\ xor\ a\le r[i]\).\(w'[i]\)的值是已知不变的，那么问题也就转化成了求合法的\(a\)的范围.

  即\(l[i]\ xor \ w'[i]\le a\le r[i]\ xor \ w'[i]\),也就是求\([l_i,r_i] \ xor\ w'[i]\)后的个数，然后\(n\)个集合取交就是答案。

  但是这个\([l_i,r_i] \ xor\ w'[i]\)并不好求，因为\(xor\)后可能并不是连续的，而是一段一段的，接下来就是这道题目的关键点了，也就是出题人的神仙求法.

  我们建一棵\([0,2^{30}-1]\)的权值线段树，然后每个区间用二进制表示出来

  那么第一层就是\([000...000,111...111]\),第二层为\([0\ 0...000,0\ 1...111]\)和\([1\ 0...000,1\ 1...111]\),第三层为\([00\ 0...000,00\ 1...111]\),\([01\ 0...000,01\ 1...111]\),\([10\ 0...000,10\ 1...111]\),\([11\ 0...000,11\ 1...111]\).

  到这就不难不发现，我们所建的线段树的每个区间，都是高\(k\)位相同，低\(30-k\)位都是\(0...000\)和\(1...111\).那么对于这样的区间比如说\([xy\ 0...000,xy\ 1...111]\),我们随便\(xor\)一个数，那么这个数的高\(2\)位和这个区间的左右端点\(xor\)后得到一个新的值\(x'y'\),而这个数剩下的低\(28\)位和\([0...000,1...111]\)这个范围里的每一个数\(xor\)后，得到的所有数一定还是\([0...000,1...111]\).那么我们的\([xy\ 0...000,xy\ 1...111]\)\(xor\)完某个数后就会得到一个连续的新区间\([x'y'\ 0...000,x'y'\ 1...111]\).

  也就是说我们把区间\([l_i,r_i]\)分成了若干个子区间，在我们建立好的线段树上去匹配它们，因为上述性质，匹配的子区间\(xor\)任意数得到的一定是一个长度相同的其他子区间，我们记录\(xor\)后的区间.

  那么取这\(n\)个集合的交集怎么求呢？这里考虑因为每个集合\(s_i\)的区间都是连续的，所以说\(s_i\)的所有区间都是不会相交的，那么我们直接对所有区间左端点记录1右端点记录-1，然后按左端点大小排序维护前缀和，当前缀和为\(n\)时，说明已经有\(n\)个区间相交了，因为单独某个集合的区间都不会相交，所以说明此时的下一个肯定是右端点，直接贡献给答案即可. 这个其实在纸上画一画还是很好理解的，感觉可以当板子来记.

• 代码：

  #include <iostream>
  #include <iomanip>
  #include <cstdio>
  #include <cstring>
  #include <cmath>
  #include <algorithm>
  #include <stack>
  #include <queue>
  #include <vector>
  #include <map>
  #include <set>
  #include <unordered_set>
  #include <unordered_map>
  #define ll long long
  #define db double
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}
  int lcm(int a,int b){return a/gcd(a,b)*b;}
  
  int n;
  int l[N],r[N];
  int w[N];
  vector<PII> edge[N];
  vector<PII> itv;
  
  void dfs(int u,int fa){
      for(auto to:edge[u]){
          if(to.fi==fa) continue;
          w[to.fi]=to.se^w[u];
          dfs(to.fi,u);
      }
  }
  
  void modify(int L,int R,int l,int r,int bit,int x){
      if(L>=l && R<=r){
          int curl=L&(((1<<30)-1)^((1<<bit)-1));
          int curx=x&(((1<<30)-1)^((1<<bit)-1));
          itv.pb({curl^curx,1});
          itv.pb({(curl^curx)+(1<<bit)-1+1,-1}); //+1:闭区间
          return;
      }
      int mid=(L+R)>>1;
      if(l<=mid) modify(L,mid,l,r,bit-1,x);
      if(r>mid) modify(mid+1,R,l,r,bit-1,x);
  }
  
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
      #ifdef lr001
          freopen("/Users/somnus/Desktop/data/in.txt","r",stdin);
      #endif
      #ifdef lr002
          freopen("/Users/somnus/Desktop/data/out.txt","w",stdout);
      #endif
      cin>>n;
      rep(i,1,n){
          cin>>l[i]>>r[i];
      }
      rep(i,1,n-1){
          int u,v,val;
          cin>>u>>v>>val;
          edge[u].pb({v,val});
          edge[v].pb({u,val});
      }
  
      dfs(1,-1);
  
      rep(i,1,n) modify(0,(1<<30)-1,l[i],r[i],30,w[i]);
  
      sort(itv.begin(),itv.end());
      int cnt=0;
      ll ans=0;
      rep(i,0,(int)itv.size()-2){
          cnt+=itv[i].se;
          if(cnt==n){
              ans+=itv[i+1].fi-itv[i].fi;
          }
      }   
      cout<<ans<<'\n';
  
      return 0;
  }