Harbour.Space Scholarship Contest 2021-2022 (open for everyone, rated, Div. 1 + Div. 2) E. Permutation Shift （思维）

• 题意:有一组排列\(a=[1,2,3,...,n]\),可以将排列的所有元素向右移动\(k\)个位置，然后选任意两个元素交换位置,最多交换\(m\)次，现在给你操作完成后的序列，问你有多少种可能的\(k\)值，使得原排列能得到现在的序列.

• 题解:将所有\(a[i]\)--,这样在每个元素移动\(k\)个位置后,得到\(a[i]=(i-k+n)\mod n\).那么我们就可以反推得到\(k\)的情况下序列\(p\)中有多少位置是合法的,即\(k=(i-a[i]+n)\mod n\),用桶\(cnt\)记录\(k\)每个\(k\)有多少合法的位置.因为移动\(k\)个位置后,最多交换\(m\)次,那么最多出现\(2*m\)个不合法的位置,所以\(cnt_k\ge n-2*m\).而\(m\le \frac{n}{3}\),\(cnt_k\ge \frac{n}{3}\).那么，在之前算\(k\)的合法位置的时候,一个合法的位置只能唯一对应一个\(k\),所以要满足\(cnt_k\ge \frac{n}{3}\),\(k\)最多只有三种情况.这样的话时间复杂度就能满足了，我们可以\(O(n)\)解决问题.

  这里可以记一个板子,求最小交换次数的时候,将现序列的值\(b_i\)和原序列\(a_i\)连边,然后求连通块数\(cnt\),最后\(n-cnt\)就是最小交换次数.

  int loop(vector<int> p,int n){
      vector<bool> vis(n);
      int res=0;
      rep(i,0,n-1){
          if(vis[i]) continue;
          int j=i;
          while(!vis[j]){
              vis[j]=true;
              j=p[j];
          }
          res++;
      }
      return n-res;
  }
  

• 代码:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 1e9 + 7;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
   
  int loop(vector<int> p,int n){
      vector<bool> vis(n);
      int res=0;
      rep(i,0,n-1){
          if(vis[i]) continue;
          int j=i;
          while(!vis[j]){
              vis[j]=true;
              j=p[j];
          }
          res++;
      }
      return n-res;
  }
   
  bool check(int n,int m,int k,vector<int> p){
      vector<int> q;
      rep(i,k,n-1) q.pb(p[i]);
      rep(i,0,k-1) q.pb(p[i]);
      return loop(q,n)<=m;
  }
   
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
      int _;
      cin>>_;
      while(_--){
          int n,m;
          cin>>n>>m;
          vector<int> a(n);
          rep(i,0,n-1) cin>>a[i];
          //a[i]-1=(i-k+n) mod n
          vector<int> cnt(n); //记录k情况下，合法的位置数
          rep(i,0,n-1){
              a[i]--;
              cnt[(i-a[i]+n)%n]++; //反推出k，因为每个a[i]在位置i上只会对应一种k的合法情况
          }
          vector<int> ans;
          rep(i,0,n-1){    //枚举k
              if(cnt[i]>=n-2*m && check(n,m,i,a)){
                  ans.pb(i);
              }
          }
          cout<<(int)ans.size()<<' ';
          for(auto w:ans) cout<<w<<' ';
          cout<<'\n';
      }
   
   
      return 0;
  }