Codeforces Round #722 (Div. 2) D. Kavi on Pairing Duty (数论递推)

• 题意:将\(2n\)个点两两相连形成\(n\)对,对于任意两个点对\(A\)和\(B\),要求至少满足其中一条:1.\(A\)和\(B\)的某一个完全包含于另一个中 2.\(A\)和\(B\)的长度相等.问你一共有多少种方案.

• 题解:假设第一个区间的左端点为\(1\),右端点为\(x\),对\(x\)分两种情况来分析.

  1.\(x> n\),那么所有大于\(x\)的点,因为它不完全包含于\([1,x]\),所以它们的长度都相同,左端点确定,那么在\([1,x]\)内,就会有一些点空出来,这些点我们可以看成是一种子情况,所以可以用前缀和来维护.注意,如果没有点空出来,也算是一种情况.

  2.\(x\le n\),那么所有的点对长度相同,我们连接\(1\)和\(x\)后,\([1,x]\)中间会空出\(x-2\)个点,将中间的这些点和对应的右端点连接,全部连完后,最右端点扩展到了\(x+x-2\),即\(2*(x-1)\),那么我们可以将这看成一个完整的块,这个块有\(2*(x-1)\)个点,很明显,只有\(2n \mod 2*(x-1)=0\)时才合法, 所以\(x-1\)一定要是\(n\)的因子(不含\(1\)).

  那么我们就能得出递推式子:\(dp[i]=pre[i-1]+divisors[i]\).

• 代码:

  #include <bits/stdc++.h>
  #define ll long long
  #define fi first
  #define se second
  #define pb push_back
  #define me memset
  #define rep(a,b,c) for(int a=b;a<=c;++a)
  #define per(a,b,c) for(int a=b;a>=c;--a)
  const int N = 1e6 + 10;
  const int mod = 998244353;
  const int INF = 0x3f3f3f3f;
  using namespace std;
  typedef pair<int,int> PII;
  typedef pair<ll,ll> PLL;
  ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
  ll lcm(ll a,ll b) {return a/gcd(a,b)*b;}
  
  ll n;
  ll a[N];
  ll divs[N];
  
  void pre(){		//n*logn
  	for(int i=1;i<=1000000;++i){
  		for(int j=i;j<=1000000;j+=i){
  			divs[j]++;			
  		}
  	}
  }
  
  int main() {
      ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
  	pre();
  	ll cur=4;
  	a[1]=1;
  	a[2]=3;
  	cin>>n;
  	for(int i=3;i<=n;++i){
  		a[i]=(cur+divs[i])%mod;
  		cur=(cur+a[i])%mod;
  	}
  
  	cout<<a[n]<<'\n';
  	
      return 0;
  }