几个有关整数的证明

1.

设m，n为正整数，m为奇数，求证2^m-1和2ⁿ+1互素

反证法：假设d=（2^m-1，2ⁿ+1）≥2,则存在x，y∈z，2^m=dx+1，和2ⁿ=dy-1

则存在u，v∈z，2^mn=du+1,2^nm=dv-1（注意m为奇数） 于是d（u-v）=2，矛盾，得证

 

2.

m为正整数，证明若2^m+1为素数，则m为2的整数次幂

利用n为奇数时，x+y|x^n+y^n（可以由归纳法证明），设m≥2，含有素因子p

则2^（m/p）+1|2^（m/p）*p  +1^p   与题设矛盾

 

3.

a，b，c为整数，证明[(a,b),(a,c)]=(a,[b,c])

（利用算数基本定理）

引理1：

max{min(x,y),min(x,z)}=min{x,max(y,z)}

证明：

∵min(x,y)<=x,  min（x，z）<=x   ∴  max{。。。}<=x

类似的可以证明max{。。。}<=max{y，z}

∴ max{。。。}<=min{。。。}

 

min{x,max(y,z)}<=x ，<=max（y，z）

∴min{x,max(y,z)}<=min（x，y）（y>=z）

min{x,max(y,z)}<=min（x，z）（z>=y）

∴ min{x,max(y,z)}<=max{min(x,y),min(x,z)}

由上，引理得证。

之后利用gcd求解