第二章实践
1.实践题目名称:7-1 最大子列和问题
2.问题描述
给定K个整数组成的序列{ N1, N2, ..., NK },“连续子列”被定义为{ Ni, Ni+1, ..., Nj },其中 1。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 },其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序,计算给定整数序列的最大子列和。
本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下:
- 数据1:与样例等价,测试基本正确性;
- 数据2:102个随机整数;
- 数据3:103个随机整数;
- 数据4:104个随机整数;
- 数据5:105个随机整数;
输入格式:
输入第1行给出正整数K (≤);第2行给出K个整数,其间以空格分隔。
输出格式:
在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数,则输出0。
3、算法描述
利用分治法思想。对最大子列和从暴力算法进行优化,将区间从中间一分为二,将问题划分为求左区间、右区间、横跨左右区间的最大子列和问题。其中左右区间可以通过递归完成,中间的最大子列和要另外处理。从而使时间复杂度为nlog(n);
4、代码
#include<iostream> using namespace std; int Num[1000009] , N; int Sum(int left , int r ) {//序列仅含一个元素 if(left == r){
if(Num[left]<0)
return 0;
else
return Num[left];
//划分 int m = (left + r) / 2; int la = Sum(left , m); int ra = Sum(m + 1 , r) ; //跨区域 int sum = 0 , lm = Num[m] , rm = Num[m + 1]; for(int i = m ; i >= left ; i--){ sum += Num[i]; if(sum > lm) lm = sum; } sum = 0; for(int i = m + 1 ; i <= r ; i++){ sum += Num[i]; if(sum > rm) rm = sum; } int an = lm + rm; if(la > an) an = la; if(ra > an) an = ra; return an; } int main() { cin>>N; for(int k = 1 ; k <= N ; k++) cin >> Num[k]; cout << Sum(1 , N); return 0; }
在解决这个问题中,遇到的最大问题是如何求跨中间区域的最大子段和问题,这部分相对比较难,修改过几次,求出来的答案老是不对。另外,在提交代码后其实还发现pta上对于如果是只有一个且为负数这个点没有对应测试点。另一点,在编程时发现l和1在代码块中基本一模一样,导致很多时候很难读出是l还是1,从而导致代码可读性差,所以要尽量避免使用l。
再对该问题进行优化,可得时间复杂度为O(n)的算法
#include <iostream> using namespace std; int main() { int a[10000]; int n ,t,sum = 0; int max = 0,b = 0; cin>>n; for(int i = 0;i<n;i++) cin>>a[i]; for(int i = 1;i<=n;i++) { for(t = i;t<=n;t++) { b += a[t]; if(max < b) max = b; }b = 0; } cout <<max; return 0; }
该代码是对分治法思想的进一步优化,从而实现时间复杂度为O(n)。
5、时间复杂度分析
上面两个不同方法的时间复杂度不同,采用分治法将问题一分为二,每一段进行加法比较,根据分析,求得时间复杂度为nlog(n),对于第二种算法,只需要一重循环搞定,从而时间复杂度为O(n).
6、心得收获
分治法思想在解决大型复杂有一定规律的题型有很多益处,能够将问题化繁为减,提高了一定的时间效率。 今后在解决这类问题时可以往这个思想上靠。
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