【算法导论】第12章二叉查找树
1、问题引入
查找树是一种数据结构，它支持多种动态集合操作，包括构造、查找、插入、删除、寻找最小值、寻找最大值等，其中构造过程主要采用不断插入值来完成。
二叉查找树中的关键字存储方式满足以下性质：设x为二叉查找树中的一个节点，如果y是x的左子树中的一个节点，则y->data < x->data;如果y是x的右子树中的一个节点，则y->data > x->data。
二叉查找树上执行的基本操作的时间与树的高度成正比，对于一棵含n个节点的完全二叉树，这些操作的最坏情况运行时间为o（lgn）。同样的，如果树是含有n个节点的线性链，则这些操作的最坏时间为o（n）。
2、数据结构
二叉查找树是按照二叉树结构来组织的，这样的树可以采用数组来表示，也可以采用链表结构来表示，不过数组表示没有链表结构简单明了，这里采用链表结构来表示，每一个节点就表示一个对象，节点中包含data数据部分、left指针（指向左儿子）、right指针（指向右儿子），如果某个节点的儿子节点不存在，则相应的儿子节点为NULL。
定义为：typedef struct treenode
{
elemType data;
struct treenode *left;
struct treenode *right;
}tree;
3、基本算法
3.1 构造二叉查找树算法
1 //构造二叉查找树 2 tree *makeTree(tree *p) 3 { 4 scanf("%d",&k); 5 while(k!=-1)//以输入-1表示构造结束 6 { 7 p=insertTreeNode(p,k);//通过插入节点方式构造 8 scanf("%d",&k); 9 } 10 return(p);//得到树p 11 }
3.2 中序遍历算法
1 void printTree(tree *t) 2 { 3 if(t) 4 { 5 printTree(t->left); 6 printf("%d ",t->data); 7 printTree(t->right); 8 } 9 }
3.3 查找一个给定的关键字所在节点算法
1 tree *searchTreeNode(tree *p,elemType k) 2 { 3 if(p==NULL) || k=p->data 4 return p; 5 if(k<p->data) 6 return searchTreeNode(p->left,k); 7 else 8 return searchTreeNode(p->right,k): 9 }
3.4 查找最大和最小关键字元素
1 //在二叉查找树中查找最小节点 2 tree *findMinTreeNode(tree *t) 3 { 4 if(t==NULL) //树为空 5 { 6 printf("error!!"); 7 return NULL; 8 } 9 while(t->left)//二叉查找树中的最小节点在最左边 10 t=t->left; 11 return(t); 12 } 13 //二叉查找树中的最大节点在最右边，算法类似。。。
3.5 在二叉查找树中插入一个节点
1 //在二叉查找树中插入节点 2 tree *insertTreeNode(tree *t,elemType e) 3 { 4 if(t==NULL)//定位到要插入的节点位置t=null 5 { 6 t=(tree *)malloc(sizeof(tree)); 7 if(t==NULL) printf("error!"); 8 t->data=e; 9 t->left=NULL; 10 t->right=NULL; 11 } 12 else if(e<t->data )//节点值小于t节点值 13 t->left=insertTreeNode(t->left,e); 14 else //节点值不小于t节点值得 15 t->right=insertTreeNode(t->right,e); 16 return(t);//返回结果 17 }
3.6 在二叉查找树中删除一个节点
删除节点的操作稍微复杂一些，要分三种情况：
(a)如果要删除的节点没有子女，则定位到该节点之后直接删除即可。
(b)如果要删除的节点有一个子女，则定位到该节点之后，让节点的父节点直接指向该节点的子节点，然后删除该节点即可。
(c)如果要删除的节点有两个子女，则定位到该节点之后，找出其后继结点，用后继结点的data和附加数据替换该节点的数据，然后删除后继结点（递归调用删除算法）。
具体算法：
tree *deleteTreeNode(tree *t,elemType e) { tree *p; if(t==NULL) { printf("error!!!\n"); return NULL; } if(e < (t->data))//e小于t中的data值，则从t的左子树中删除e； t->left=deleteTreeNode(t->left,e); else if(e > (t->data))//e大于t中的data值，则从t的右子树中删除e； t->right=deleteTreeNode(t->right,e); else if((t->left) && (t->right))//找到节点且该节点的左右子树都存在 { p=findMinTreeNode(t->right);//找到后继结点 t->data=p->data;//将后继结点的值赋给t节点 t->right=deleteTreeNode(t->right,t->data);//删除后继结点 } else//找到节点且节点或者只存在一个子节点或者不存在子节点 { p=t; if(t->left==NULL) t=t->right; else if(t->right==NULL) t=t->left; free(p); return(t); } return(t); }
4、具体的代码实现：
View Code
1 #include<stdlib.h> 2 #include<stdio.h> 3 typedef int elemType; 4 typedef struct treenode 5 { 6 elemType data; 7 struct treenode *left; 8 struct treenode *right; 9 }tree; 10 tree *makeTree(tree *p); 11 void printTree(tree *t); 12 tree *insertTreeNode(tree *t,elemType e); 13 tree *deleteTreeNode(tree *t,elemType e); 14 tree *findMaxTreeNode(tree * t); 15 tree *findMinTreeNode(tree *t); 16 tree *findTreeNode(tree *t,elemType e); 17 //------------------------------------------------- 18 //构造二叉查找树 19 tree *makeTree(tree *p) 20 { 21 int k; 22 printf("构造树，请输入节点值(以-1结束)：\n"); 23 scanf("%d",&k); 24 while(k!=-1) 25 { 26 p=insertTreeNode(p,k); 27 scanf("%d",&k); 28 } 29 printf("\n"); 30 return(p); 31 } 32 //中序遍历二叉查找树 33 void printTree(tree *t) 34 { 35 if(t) 36 { 37 printTree(t->left); 38 printf("%d ",t->data); 39 printTree(t->right); 40 } 41 } 42 //在二叉查找树中查找最小节点 43 tree *findMinTreeNode(tree *t) 44 { 45 if(t==NULL) 46 { 47 printf("error!!"); 48 return NULL; 49 } 50 while(t->left) 51 t=t->left; 52 return(t); 53 } 54 //在二叉查找树中查找最大节点 55 tree *findMaxTreeNode(tree *t) 56 { 57 if(t==NULL) 58 { 59 printf("error!!"); 60 return NULL; 61 } 62 while(t->right) 63 t=t->right; 64 return(t); 65 } 66 //在二叉查找树中插入节点 67 tree *insertTreeNode(tree *t,elemType e) 68 { 69 if(t==NULL) 70 { 71 t=(tree *)malloc(sizeof(tree)); 72 if(t==NULL) printf("error!"); 73 t->data=e; 74 t->left=NULL; 75 t->right=NULL; 76 } 77 else if(e<t->data ) 78 t->left=insertTreeNode(t->left,e); 79 else 80 t->right=insertTreeNode(t->right,e); 81 return(t); 82 } 83 //在二叉查找树中删除节点 84 tree *deleteTreeNode(tree *t,elemType e) 85 { 86 tree *p; 87 if(t==NULL) 88 { 89 printf("error!!!\n"); 90 return NULL; 91 } 92 if(e < (t->data))//e小于t中的data值，则从t的左子树中删除e； 93 t->left=deleteTreeNode(t->left,e); 94 else if(e > (t->data))//e大于t中的data值，则从t的右子树中删除e； 95 t->right=deleteTreeNode(t->right,e); 96 else if((t->left) && (t->right))//找到节点且该节点的左右子树都存在 97 { 98 p=findMinTreeNode(t->right);//找到后继结点 99 t->data=p->data;//将后继结点的值赋给t节点 100 t->right=deleteTreeNode(t->right,t->data);//删除后继结点 101 } 102 else//找到节点且节点或者只存在一个子节点或者不存在子节点 103 { 104 p=t; 105 if(t->left==NULL) 106 t=t->right; 107 else if(t->right==NULL) 108 t=t->left; 109 free(p); 110 return(t); 111 } 112 return(t); 113 } 114 void main() 115 { 116 int d; 117 tree *p; 118 p=NULL; 119 //----------------------------------------------- 120 p=makeTree(p); 121 printf("构造后的树采用中序遍历结果为：\n"); 122 printTree(p); 123 //----------------------------------------------- 124 printf("插入节点：\n"); 125 printf("请输入要插入的节点值：\n"); 126 scanf("%d",&d); 127 p=insertTreeNode(p,d); 128 printf("插入节点后的树采用中序遍历结果为：\n"); 129 printTree(p); 130 //----------------------------------------------- 131 printf("删除节点：\n"); 132 printf("请输入要删除的节点值：\n"); 133 scanf("%d",&d); 134 p=deleteTreeNode(p,d); 135 printf("删除节点后的树采用中序遍历结果为：\n"); 136 printTree(p); 137 //------------------------------------------------ 138 printf("\n构造树中的最小节点为：\n"); 139 p=findMinTreeNode(p); 140 printf("%d \n",p->data); 141 printf("\n构造树中的最大节点为：\n"); 142 p=findMaxTreeNode(p); 143 printf("%d \n",p->data); 144 }
5、参考资料：
（1）http://kb.cnblogs.com/a/2336968/
（2）算法导论
