【算法导论】第6章堆排序及利用堆建立最小优先级队列
1、堆排序
1.1 堆排序简介
堆数据结构是一种数组对象，它可以被视为一棵完全二叉树，树中每个节点与数组A中存放该结点值的那个元素对应。树根为A[1]，给定了某个结点的下标i，其父节点PARENT(i),左儿子节点LEFT(i)和右儿子结点RIGHT(i）的下标可以简单的计算出来：PARENT(i）：不大于i/2的最大整数，LEFT(i):2i;RIGHT（i）：2i+1；
堆排序主要分成三个重要步骤：
（1）利用MAX-HEAPIFY来保持堆的性质：输入为数组A和下标i。当其被调用时，我们假定以LEFT（i）和RIGHT(i)为根的两棵二叉树都是最大堆，但这时A[i]可能小于其子女，这就违反了最大堆性质。MAX-HEAPIFY让A[i]在最大堆中“下降”，使以i为根的子树成为最大堆。
（2）BUILD-MAX-HEAP(A)建堆：自底向上的用MAX-HEAPIFY来将一个数组A[1...n]变成一个最大堆。子数组A[n/2+1...n]中的元素都是树中的叶子，因此每个都可以看做只含一个元素的堆。建堆过程对树中的每一个其他结点都调用一次MAX-HEAPIFY。
（3）HEAPSORT(A):利用(2)已经将数组A造成一个最大堆。因为数组中最大元素在根A[1],则可以通过把它与A[n]互换来达到最终正确的位置。现在，如果从堆中去掉结点n（通过减小A的大小），可以很容易的将A[1...n-1]建成最大堆。原来的根的子女仍是最大堆，而新的根元素可能违背了最大堆性质，这时调用MAX-HEAPIFY(A,1)就可以保持这一性质，在A[1...(n-1)]中构造出最大堆。
1.2、堆排序具体实现代码：
View Code
1 #include<stdio.h>
2 void max_heapify(int *p,int i,int n)//保持堆的性质
3 {
4 int l,r,largest,temp;
5 l=2*i;
6 r=2*i+1;
7 if((l<=n) && (*(p+l) > *(p+i)))
8 largest=l;
9 else largest=i;
10 if((r<=n) && (*(p+r) > *(p+largest)))
11 largest =r;
12 if(largest!=i)
13 {
14 temp=*(p+i);
15 *(p+i)=*(p+largest);
16 *(p+largest)=temp;
17 max_heapify(p,largest,n);
18 }
19 }
20 void build_max_heap(int *p,int n)//建立大顶堆
21 {
22 int i;
23 for(i=n/2;i>0;i--)
24 max_heapify(p,i,n);
25 }
26
27 void heapsort(int *p,int n)//堆排序
28 {
29 int i,temp;
30 build_max_heap(p,n);
31 for(i=n;i>=1;i--)
32 {
33 temp=*(p+1);
34 *(p+1)=*(p+i);
35 *(p+i)=temp;
36 printf("%d ",temp);
37 n--;
38 max_heapify(p,1,n);
39 }
40 }
41 int main()
42 {
43 int n=10;
44 int a[11]={0,16,14,10,8,7,9,3,2,4,1};
45 printf("排序结果为：\n");
46 heapsort(a,n);
47 return 0;
48 }
堆排序算法的时间复杂度为O(nlgn);;
2 利用堆建立最小优先级队列
优先级队列是一种用来维护由一组元素构成的集合S的数据结构，这一组元素中的每一个都有一个关键字key，一个最小优先级队列支持一下操作
（1）heap_insert(S，x):把元素x插入到集合S。
（2）heap_minimun(S)：返回S中具有最大关键字的元素。
（3）heap_extract_min(S)：去掉并返回S中的具有最小关键字的元素。
（4）heap_decrease_key(S,x,k)将元素x的关键字减小到k，这里k不能大于x的原来的关键字值。
具体实现代码如下：
View Code
1 /*---------------------------------------------- 2 *name:用最小堆实现最小优先级队列 3 *data:2012-7-3 4 *author:lp 5 *---------------------------------------------*/ 6 #include<stdio.h> 7 #include<limits.h> 8 #define maxsize 20//最大节点数 9 int realsize=10;//实际初始时节点数 10 int parent(int i)//父节点 11 { 12 return(i/2); 13 } 14 int left(int i)//左子节点 15 { 16 return(2*i); 17 } 18 int right(int i)//右子节点 19 { 20 return(2*i+1); 21 } 22 void min_heapify(int p[],int i)//保持堆的性质 23 { 24 int l,r,little,temp; 25 l=2*i; 26 r=2*i+1; 27 if(l<=realsize && p[l]<p[i]) 28 little=l; 29 else little=i; 30 if(r<=realsize && p[r]<p[little]) 31 little =r; 32 if(little!=i) 33 { 34 temp=p[i]; 35 p[i]=p[little]; 36 p[little]=temp; 37 min_heapify(p,little); 38 } 39 } 40 void build_min_heap(int p[])//建立大顶堆 41 { 42 int i; 43 for(i=realsize/2;i>0;i--) 44 min_heapify(p,i); 45 } 46 int heap_minimum(int p[])//返回堆中最大值 47 { 48 return(p[1]); 49 } 50 int heap_extract_min(int p[])//去掉并返回堆中的具有最大关键字的元素 51 { 52 int min; 53 if(realsize<1) 54 { 55 printf("堆下溢出\n"); 56 return(-1); 57 } 58 min=p[1]; 59 p[1]=p[realsize-1]; 60 realsize--; 61 min_heapify(p,1); 62 return(min); 63 } 64 int heap_decrease_key(int p[],int i,int key)//将元素i的关键字的值增加到key，这里key不能小于原来的值 65 { 66 int temp; 67 if(key>p[i]) 68 { 69 printf("key的值太大\n"); 70 return(-1); 71 } 72 p[i]=key; 73 74 while(i>1 && p[parent(i)]>p[i]) 75 { 76 temp=p[i]; 77 p[i]=p[parent(i)]; 78 p[parent(i)]=temp; 79 i=parent(i); 80 } 81 return(0); 82 } 83 void heap_insert(int p[],int key)//将关键字值为key的值插入到堆中 84 { 85 realsize++; 86 p[realsize]=INT_MAX; 87 heap_decrease_key(p,realsize,key); 88 } 89 void heap_print(int p[])//打印堆 90 { 91 int i; 92 for(i=1;i<realsize+1;i++) 93 printf("%d ",p[i]); 94 printf("\n"); 95 } 96 97 void main() 98 { 99 int i,key; 100 int a[maxsize+1]={0,4,1,3,2,16,9,10,14,8,7}; 101 printf("建堆的数据为:\n"); 102 for(i=1;i<realsize+1;i++) 103 printf("%d ",a[i]); 104 printf("\n"); 105 printf("新建成的堆为：\n"); 106 build_min_heap(a); 107 heap_print(a); 108 109 printf("堆中的最大元素为：\n%d\n",heap_minimum(a)); 110 //printf("堆中取出最大元素后为：\n"); 111 //heap_extract_max(a); 112 //heap_print(a); 113 printf("输入要插入堆的元素:\n"); 114 scanf("%d",&key); 115 heap_insert(a,key); 116 printf("堆中插入元素%d后为：\n",key); 117 heap_print(a); 118 printf("请输入要减小的元素及其要减小的值:\n"); 119 scanf("%d,%d",&i,&key); 120 printf("元素减小之后为：\n"); 121 heap_decrease_key(a,i,key); 122 heap_print(a); 123 }
3 参考资料：
（1）算法导论
（2）数据结构
