动态规划方法生成最优二叉查找树
1、概念引入
基于统计先验知识，我们可统计出一个数表（集合）中各元素的查找概率，理解为集合各元素的出现频率。比如中文输入法字库中各词条（单字、词组等）的先验概率，针对用户习惯可以自动调整词频——所谓动态调频、高频先现原则，以减少用户翻查次数。这就是最优二叉查找树问题：查找过程中键值比较次数最少，或者说希望用最少的键值比较次数找到每个关键码（键值）。为解决这样的问题，显然需要对集合的每个元素赋予一个特殊属性——查找概率。这样我们就需要构造一颗最优二叉查找树。
2、问题给出
n个键{a1,a2,a3......an},其相应的查找概率为{p1,p2,p3......pn}。构成最优BST,表示为T1n ，求这棵树的平均查找次数C[1, n]（耗费最低)。换言之，如何构造这棵最优BST，使得
C[1, n] 最小。
3、分段方法
动态规划法策略是将问题分成多个阶段，逐段推进计算，后继实例解由其直接前趋实例解计算得到。对于最优BST问题，利用减一技术和最优性原则，如果前n-1个节点构成最优BST，加入一个节点an 后要求构成规模n的最优BST。按 n-1, n-2 , ... , 2, 1 递归，问题可解。自底向上计算：C[1, 2]→C[1, 3] →... →C[1, n]。为不失一般性用
C[i, j] 表示由{a1,a2,a3......an}构成的BST的耗费。其中1≤i ≤j ≤n。这棵树表示为Tij。从中选择一个键ak作根节点，它的左子树为Tik-1，右子树为Tk+1j。要求选择的k 使得整棵树的平均查找次数C[i, j]最小。左右子树递归执行此过程。（根的生成过程）
4、递推计算式
5、基本算法如下
6、具体实现代码（其中所有数据都存放在2.txt中，其内容为：
其中5表示有5个节点，其他数据表示各个节点出现的概率；
1 #include<stdio.h> 2 #include<stdlib.h> 3 #define max 9999 4 void OptimalBST(int,float*,float**,int**); 5 void OptimalBSTPrint(int,int,int**); 6 void main() 7 { 8 int i,num; 9 FILE *point; 10 //所有数据均从2.txt中获取，2.txt中第一个数据表示节点个数；从第二个数据开始表示各个节点的概率 11 point=fopen("2.txt","r"); 12 if(point==NULL) 13 { 14 printf("cannot open 2.txt.\n"); 15 exit(-1); 16 } 17 fscanf(point,"%d",&num); 18 printf("%d\n",num); 19 float *p=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1)); 20 for(i=1;i<num+1;i++) 21 fscanf(point,"%f",&p[i]); 22 //创建主表； 23 float **c=(float**)malloc(sizeof(float*)*(num+2)); 24 for(i=0;i<num+2;i++) 25 c[i]=(float*)malloc(sizeof(float)*(num+1)); 26 //创建根表； 27 int **r=(int**)malloc(sizeof(int*)*(num+2)); 28 for(i=0;i<num+2;i++) 29 r[i]=(int*)malloc(sizeof(int)*(num+1)); 30 //动态规划实现最优二叉查找树的期望代价求解。。 31 OptimalBST(num,p,c,r); 32 printf("该最优二叉查找树的期望代价为：%f \n",c[1][num]); 33 //给出最优二叉查找树的中序遍历结果； 34 printf("构造成的最优二叉查找树的中序遍历结果为："); 35 OptimalBSTPrint(1,4,r); 36 37 } 38 void OptimalBST(int num,float*p,float**c,int**r) 39 { 40 int d,i,j,k,s,kmin; 41 float temp,sum; 42 for(i=1;i<num+1;i++)//主表和根表元素的初始化 43 { 44 45 c[i][i-1]=0; 46 c[i][i]=p[i]; 47 r[i][i]=i; 48 } 49 c[num+1][num]=0; 50 for(d=1;d<=num-1;d++)//加入节点序列 51 { 52 for(i=1;i<=num-d;i++) 53 { 54 j=i+d; 55 temp=max; 56 for(k=i;k<=j;k++)//找最优根 57 { 58 if(c[i][k-1]+c[k+1][j]<temp) 59 { 60 temp=c[i][k-1]+c[k+1][j]; 61 kmin=k; 62 } 63 } 64 r[i][j]=kmin;//记录最优根 65 sum=p[i]; 66 for(s=i+1;s<=j;s++) 67 sum+=p[s]; 68 c[i][j]=temp+sum; 69 } 70 } 71 } 72 //采用递归方式实现最优根的输出，最优根都是保存在r[i][j]中的。。。 73 void OptimalBSTPrint(int first,int last,int**r) 74 { 75 76 int k; 77 if(first<=last) 78 { 79 k=r[first][last]; 80 printf("%d ",k); 81 OptimalBSTPrint(first,k-1,r); 82 OptimalBSTPrint(k+1,last,r); 83 } 84 }
7、最终运行结果：
8、参考文献：
（1）算法导论
（2）数据结构 严蔚敏
（3）网上下载的一个ppt（算法设计与分析，第八章）
