拉格朗日反演
看了一下拉格朗日反演 写一下大致过程
有\(F(x)\)和\(G(x)\)常数项都为零且一次项不为零，且\(F(G(x))=x\)
那么有
\[\sum_i a_i \cdot G^i(x) = x\\
\]
求导
\[\sum_i a_i \cdot i \cdot G^{i - 1}(x) \cdot G'(x) = 1\\
\]
同时除以\(G^n(x)\)
\[\sum_i a_i \cdot i \cdot G^{i - n - 1}(x) \cdot G'(x) = \frac{1}{G^n(x)}\\
\]
考虑\([x^{-1}]\)项
\[[x^{-1}] \sum_i a_i \cdot i \cdot G^{i - n - 1}(x) \cdot G'(x) = [x^{-1}]\frac{1}{G^n(x)}\\
\]
由于\(i \not= n\)时有
\[G^{i - n - 1}(x) \cdot G'(x) = \frac{1}{i - n}(G^{i - n}(x))'
\]
可见当\(i \not= n\)时是没有\([x^{-1}]\)的贡献的,所以
\[[x^{-1}] a_n \cdot n \cdot G^{-1}(x) \cdot G'(x) = [x^{-1}] \frac{1}{G^n(x)}
\]
又因为
\[[x^{-1}]G^{-1}(x) \cdot G'(x) = 1
\]
所以
\[a_n = \frac{1}{n} [x^{-1}] \frac{1}{G^n(x)}
\]
即为拉格朗日反演
