JOISC 2022 简要题解
版刷 JOISC 的计划就这么结束了。
鸽了许多题，懵懵懂懂过来的，兴奋的开始，中途得知省选没了，又鸽了一段时间。
好歹是完结了，撒花撒花。总体上题目质量很高，很开心以及荣幸有机会能感受 JOISC 的魅力。
update on 2022.12.4：重修也撒花了，算是对省选那段时间的纪念！
「JOISC 2022 Day1」监狱
- 给定 \(n\) 个点的树上 \(m\) 个人的行走路线，形如 \(s_i\to t_i\)，保证任意两个人的起点或终点均不相同。
- 每次可以让某个人走到相邻点，但是不能存在一个点同时存在 \(\geq 2\) 个人。
- 判断是否存在方案满足每个人的行走。
- \(m\leq n\leq 1.2\times 10^5\)。
核心性质：总存在一种解，是每次选一个人从起点持续移动到终点，并从此不再移动他。
也就是一个人走一下再等一下是不优的，具体画图更加直观，基于树无环这一基本条件，停下来等总不能对自己的移动有什么帮助。
那么容易建出一个 \(m\) 条路径之间的有向图，\(s_j\) 在 \([s_i,t_i]\) 上那么 \(j\to i\)，\(t_k\) 在路径上的则 \(i\to k\)。只需要判定是否连出来个 DAG。
一开始的思路是树剖 + 线段树优化建图，复杂度是 \(O(n\log ^2 n)\) 的，时空都不是很优秀。
实际上，树链的形态是能够用树上倍增更好的迎合的，只要直接倍增优化建图就能够 \(O(n\log n)\)。
「JOISC 2022 Day1」京都观光
- 给定 \(n\times m\) 的网格图，边权为：
- 从 \((i,j)\to (i,j+1)\) 需要花费 \(a_i\) 的代价。
- 从 \((i,j)\to (i+1,j)\) 需要花费 \(b_j\) 的代价。
- 求从 \((1,1)\to (n,m)\) 的最小代价。
- \(n,m\leq 10^5,a,b\leq 10^9\)。
感觉可以当作典型模型。
考虑一个最小单元格：
b_l b_r
a_i --- - ---
| |
a_j --- - ---
| |
a_k --- - ---
考虑从 \((i,l)\to (k,r)\)，发现有三种路径：
- \((i,l)\to (i,r)\to (k,r)\)，代价为：\((r-l)a_i+(k-i)b_r\)。
- \((i,l)\to (j,l)\to (j,r)\to (k,r)\)，代价为：\((j-i)b_l+(r-l)a_j+(k-j)b_r\)。
- \((i,l)\to (k,l)\to (k,r)\)，代价为：\((k-i)b_l+(r-l)a_k\)。
如果第 \(j\) 行想要有用，就一定要有 1, 3 的代价都 \(>\) 2 的，移项化简得到：
也就是说，如果 \(\frac{a_i-a_j}{i-j}>\frac{a_j-a_k}{j-k}\)，不等式必然不成立，\(j\) 也就没用，对应于有用 \((i,a_i)\) 一定构成斜率递增的下凸壳！
实际上，容易发现有用的 \(a_i\) 一定是前后缀 \(\min\)，但是下凸壳无疑是更强的限制。
此时可以先处理出 \(a,b\) 分别的下凸壳。
之后，如果已知 \(j\) 没用，那么考虑剩下两条路径的代价，只有 \(\frac{a_i-a_k}{i-k}<\frac{b_l-b_r}{l-r}\) 时，第一条路径更优，会优先往右走。
结合凸包经典结论，能够想到直接对两个做闵可夫斯基和，每次选择斜率更小的方向走即可。
「JOISC 2022 Day1」错误拼写
- 给定字符串，长度钦定为 \(n\)，定义 \(s_i\) 表示去掉第 \(i\) 位后的长度为 \(n-1\) 的字符串。
- 给出 \(m\) 条限制 \((x,y)\)，表示字典序 \(s_x<s_y\)。
- 求有多少种字符集为小写字母的满足所有限制的字符串。
- \(n,m\leq 5\times 10^5\)。
简单转化，假设 \(l=\min(x,y),r=\max(x,y)\)，那么：
- 若 \(x<y\)，表达的就是 \((l,r]<[l,r)\)。
- 若 \(x>y\)，表达的就是 \([l,r)<(l,r]\)。
发现都是相邻位的比较，设 \(c_i\) 表示 \(\text{compare}(i,i+1)\in\{>,<,=\}\)。
那么表达的就是 \([l,r)\) 中的第一个不等号是 \(>/<\)，或者没有不等号。
从一个位置开始的同种限制显然保留右端点最大的。
不同限制可以考虑截取 \(\min\) 为全都是等号，然后更长的段放到后面限制，也可以直接分开考虑。
都很好转移，直接倒着 DP，将限制放到 \(l\) 上，每次枚举第一个和自己不同的下一位置转移。
对应不能转移的，就把对应点的状态去掉，发现就是 \(\leq \lim\) 的状态，直接开个小根堆，相当于只有一段后缀能转移。
「JOISC 2022 Day2」复制粘贴 3
- 构造长度为 \(n\) 的目标串，初始 \(X\) 为空，支持三种操作：
- 输入 \(c\)，即 \(X\gets X+c\)。
- 剪切，将 \(X\) 剪切到剪切板 \(Y\)，并令 \(X\) 为空。
- 粘贴，即 $X\gets X+Y
- 分别有代价 \(A,B,C\)，求得到目标串的最小代价。
- \(n\leq 2500\)。
区间 DP。
最简单的是第一种操作，\(f(l,r)\gets f(l,r-1)+A\)。
然后发现如果选择剪切 & 粘贴，肯定是粘贴次数越多越好，粘贴得到的字符串形如 ..Y....Y.YY..Y...。
也就是说，中间有需要用 \(A\) 填补的缝隙，但总体是能粘贴就粘贴。
考虑前后缀都有边角字符不好处理，再添加转移 \(f(l,r)\gets f(l+1,r)+A\)，那就可以默认 Y 为开头/末尾。
考虑对于 \(f(l,r)\) 刷表式的贡献到以 \(r\) 为右端点的串，预处理每个位置前一个最近的不重叠相同串，就可以简单得到。
对于同样 \(r\) 的串，只会调和级数的枚举转移，所以总复杂度是 \(O(n^2\log n)\) 的。
「JOISC 2022 Day2」团队竞技
懒得写题解，随便写点数据结构维护就没了。
「JOISC 2022 Day3」洒水器
- 支持树上所有距离某个点 \(\leq d\) 的点乘 \(x\)，单点查询，取模但不一定是质数。
- \(n\leq 2\times 10^5,q\leq 4\times 10^5,d\leq 40\)。
保证了 \(d\leq 40\) 就不用写点分树了，类似的直接容斥。
问题是不一定有逆元，暴力一点预处理拆模数的质因子，质因子之外的正常做，质因子的指数直接加减就能做除法了。
然后我辛辛苦苦写了个 \(O(qd\log d\log P)\)，就常数大了点，怎么就能无情的卡到 \(53\text{pts}\) 呢/ll
实际上正解很朴素，直接对每个位置开 \(f(u,d)\)，表示距离它为 \(d\) 的儿子需要乘的量。注意根上面需要建 \(d\) 个虚点。
每次往上跳 \(d\) 次，每次对 \(f(u,d)\) 和 \(f(u,d-1)\) 都乘对应量。然后发现，无论奇偶深度的儿子，该乘的都乘上了，也不会多乘。
代码就 10 行，神奇，巧妙，可以当作典型模型。
「JOISC 2022 Day3」蚂蚁与方糖
- 维护数轴上 \(m\) 次两种事件：
- 位置 \(x\) 出现了 \(k\) 只蚂蚁。
- 位置 \(x\) 出现了 \(k\) 个方糖。
- 每只蚂蚁能唯一匹配恰好一个离自己不超过 \(L\) 的方糖，每次操作吼，求最大匹配。
- \(m\leq 5\times 10^5,L,x,k\leq 10^9\)。
考虑扩展 Hall 定理：
设 \(N(S)=\{y\mid \exist x\in S,(x,y)\in E\}\)，则：
对于 蚂蚁和方糖存在的位置奇偶性不同且 \(L=1\) 的部分分，每个 \(N(\{x\})\) 就是和它相邻的点。
经典的把贡献放到相邻位置上可以轻松的用线段树 merge。
正解需要更多性质。
- 性质一：设 \(\text{next}_s(i)\) 表示 \(i\) 在 \(s\) 中的后继节点（按照坐标位置升序排序），那么 \(N(s)=\sum_{i\in s} |N(i)|- |N(i)\cap N(\text{next}_s(i))|\)。
因为每个点的匹配点是一个以它为中心的定长值域区间，所以有这个性质，每个 \(y\) 会在最右边的和它右边的 \(i\) 处被统计到。
- 性质二：若 \(l,r\in s\)，且 \(x_r-x_l\leq 2L\)，那么 \(\forall i\in[l,r]\)，有 \(i\in s\)。
如果有 \(i\in [l,r]\) 但不在 \(s\) 中，那么直接加入进来会在不影响 \(|N(s)|\) 的情况下增大 \(|s|\)，显然更优。
- 性质三：结合上两条性质，如果 \(N(i)\cap N(\text{next}_s(i))\neq \varnothing\)，那么 \(\text{next}_s(i)=i+1\)。
因为有交距离一定 \(\leq 2L\)，所以有这个性质。
也就是说，每次维护对 \(|N(i)\cap N(\text{next}_s(i))|\) 交的容斥任然可以放到线段树的 merge 时的相邻点上。因为是最小化所以如果该减的没减一定不优。
考虑每次操作，如果是插入蚂蚁相当于单点修改 \(|s|\)。
如果是插入方糖，设 \([l,r]\) 是与方糖右边的极大区间，那么相当于：
- 对 \([l,r]\) 的 \(|N(i)|\) 区间加 \(k\)。
- 对 \([l,r)\) 的 \(|N(i)\cap N(\text{next}_s(i))|\) 区间加 \(k\)。
前面的好办，后面则发现会对区间的答案 \(+tk\)，其中 \(t\in\{0,1\}\)。
取决于 \([l,r]\) 中是否有 \(\in s\) 的连续段（根据性质二，这个长度 \(\leq 2L\) 的区间至多包含一个连续段！）。
可以对 \([0/1,0/1]\) 均 \(+k\)，再特殊考虑 \([0,0]\gets \min([0,0],0)\)，相当于特判全都不选。于是就能完美维护了！
「JOISC 2022 Day4」一流团子师傅
- 交互题。
- 给定 \(n\times m\) 个团子，有 \(n\) 种，每种恰好 \(m\) 个。
- 要求给出 \(m\) 个大小为 \(n\) 的集合，使得每个集合取遍所有种类，每个团子只在恰好一个集合出现。
- 每次询问可以给出一个团子集合，回答的是这些团子能组成至多几个那种集合。
- \(n=400,m=25\)，询问次数要求 \(\leq 50000\)。
考虑直接维护 \(m\) 个集合，对每个团子，找到第一个没有它这种颜色的集合，放进去即可。
判定很简单，直接将全集排除 \([1,\text{mid}]\) 集合里的数，以及当前的团子，并查询。
如果 \(\text{Query}=m-\text{mid}-1\)，说明 \([1,\text{mid}]\) 里确实人手一个这种团子，那么就 \(l\gets \text{mid}+1\)，否则 \(r\gets \text{mid}\)。
复杂度严格 \(nm\log m\)，刚好卡满哈哈。还有一种 random_shuffle 再类似循环展开优化 \(O(nm^2)\) 的做法，挺奇妙的。
「JOISC 2022 Day4」复兴计划
- 对于 \(n\) 个点 \(m\) 条边的带权无向图，每次询问给出 \(x\)，此时边权定义为 \(|x-w|\)，求最小生成树。
- \(n\leq 500,m\leq 10^5,x,w\leq 10^9\)。
核心性质：对于每条边，它被选择时的 \(x\) 一定是一段连续的区间。
考虑绝对值函数是 V 形的，且斜率相同，当某条边被取代说明有更优决策，因为两个 V 至多有 \(1\) 个交点，所以一定是一个连续区间。
考虑对每条边维护这个区间，将边从小到大排序后，因为 \(n\) 很小，直接在上一次最小生成树的基础上，去掉最大的环边即可，\(O(mn\alpha(n))\)。
那么这条环边和当前边是势不两立的，对于 \(x=\) 它们的平均值开始，往左是选择这条环边，往右是选择当前边。
得到每条边的 \([l_i,r_i]\) 后，直接差分拆贡献，直接维护一次函数的前缀和即可。
