USACO 2022赛季 简要题解

DEC

GOLD - A - Paired Up G

• 有 $n$ 只奶牛，第 $i$ 只在位置 $x_i$，有重量 $y_i$。
• 求在满足匹配要求的情况下，非匹配的奶牛的重量之和的 最大/最小 值。
• 两只奶牛能匹配，当且仅当 $|x_i-x_j|\leq k$。
• 匹配必须的极大的，也就是说，不能存在两只非匹配奶牛能匹配。
• $n\leq 10^5,x_i\leq 10^9,y_i\leq 10^4$。

将大小分开讨论，得到两种不同方法，同时均异常清晰。

首先问题可以独立的划分为几个子问题，每个子问题都是满足 $x_i-x_{i-1}\leq k$ 的极长子链。

对于最小化，如果链长为偶数直接相邻匹配，答案为 $0$，否则枚举每个位置能否成为唯一一个非匹配的奶牛即可。

对于最大化，考虑一个简单的 DP，设 $f(i,j)$ 表示考虑了前 $i$ 只奶牛，有 $j$ 只非匹配的奶牛时的最大值。

令 $p$ 表示极右的满足 $x_i-x_p>k$ 的奶牛，如果两者能够成为相邻两个被钦定为非匹配的奶牛的话，转移就是：

$$f(i,j)=\max(f(i-1,j),f(p,j-1)+y_i)$$

否则只有 $f(i,j)=f(i-1,j)$。

判定能否被钦定，就是相邻两个匹配划分，可能会让 $i-1$ 与 $i+1$ 匹配。

容易注意到唯一影响判定的是 $j$ 的奇偶性，所以第二维就可以优化成 $0/1$ 了，问题迎刃而解。

GOLD - B - HILO G

• 给定一个 $n$ 排列，以此为策略做猜数，会回答 LO（小了）或者 HI（大了）。
• 要猜的数字为 $x+0.5(x\in[0,n])$，无用的猜测会跳过（例如猜 $x$ 得到回答 LO，那就不会再猜 $<x$ 的数）。
• 对于 $n+1$ 个可能的 $x$，分别求出最终得到的回答序列中，HILO 的个数。
• $n\leq 2\times 10^5$。

看上去特别难想的题目，实际只要一个点。

这个过程可以类比二分的过程，如果顺序枚举排列，那么这个数会被猜的只会是一个区间。

并且，它会把这个区间劈成两半，一边是回答 HI，一边是 LO。

直接用 set 维护，劈 $n$ 次就恰好得到了 $n+1$ 个长度为 $1$ 的区间，时间复杂度 $O(n\log n)$。

实际上，可以做的更好，观察猜测过程，实际就是在笛卡尔树上走的过程。

如果把序列后面拼 $n+1$ 个 $x+0.5$，然后以 下标为堆，权值为 BST，建立笛卡尔树。

那么，每个答案点的询问序列就是它到根的路径，直接统计即可，时间复杂度 $O(n)$。

GOLD - C - Bracelet Crossings G

• 是用 $m$ 条直线穿过平面内 $n$ 个不同图形。
• 每个图形边界只出现 $0/2$ 次，求是否有可能每个图形都是简单闭合图形，且边界均不相交。
• $n,m\leq 50$。

直接模拟判断即可，讨论起来不是很复杂：

• 每次的颜色序列是括号序列。
• 每种颜色的出现时刻是一个连续段。
• 每两种颜色的图形时刻只会是四种关系之一，不能改变：包含、被包含、上方、下方。
• 若 $a$ 包含 $b$，那么 $a$ 的出现时间不晚于 $b$，消失时间不早于 $b$。

最后一个比较难考虑到，代码不难写。

Platinum - A - Tickets P

• 有 $n$ 个售票站，$m$ 种票。
• 第 $i$ 种票在 $c_i$ 站售出，价格为 $p_i$，购买之后能够任意穿梭于 $[a_i,b_i]$ 售票站。
• 只有到一个售票站才能买那里的票，自此之后，可以任意时刻到达已买的票的区间。
• 对每个 $i\in[1,n]$，求从它出发，能到达 $1$ 和 $n$ 的最小代价，或判断无解。
• $n,m\leq 10^5$。

建图是比较自然的事情，显然是线段树优化建图。对于票 $i$，建有向边 $(c_i,\text{Id}_i,p_i),(\text{Id}_i,[a_i,b_i],0)$。

要求能到达 $1$ 和 $n$，那就将边全部反向，分别求从 $1$ 和 $n$ 出发的最短路。

但是直接相加显然得不到好处，可能会出现重复买票的情况。

处理也比较简单，就是将所有点赋值为两次最短路的和，然后再次用 Dijkstra 松弛。

最小的路径一定是没有重复买票的，也显然不可能不存在不重复买票的路径。

Platinum - B - Paired Up P

• 和 G 的 T1 类似。只是有两种牛，只有不同种的牛可以匹配。要求的东西和其它限制条件也是一样的。
• $n\leq 5000$。

此时可以接受 $O(n^2)$ 的解。

对于最小化，转化成 总和 - 最大匹配和，同样的不会出现交叉匹配，所以直接 DP 即可，最大匹配一定是极大匹配，所以正确。

对于最大化，暴力思路很简单，设 $f(i,j,k)$ 表示两种分别到了 $i,j$，最后一只未匹配的牛是 $k$。

想要新加入的牛不匹配，需要满足二者其一：$k$ 与其同种，或 $k$ 与它的距离大于限制。

想要优化，只能在 $k$ 这一维下功夫，考虑钦定而非记录。

设 $f(i,j,0/1)$ 表示考虑了第 $1$ 种牛的前 $i$ 只和第 $2$ 种牛的前 $j$ 只，当前钦定保留的是哪种牛。

有转移：

• $f(i,j,0)\to f(i+1,j,0)+wx_{i+1}$。
• $f(i,j,1)\to f(i,j+1,1)+wy_{j+1}$。
• 若 $(i+1,j+1)$ 能匹配，$f(i,j,*)\to f(i+1,j+1,*)$。

这是根据状态的定义可以直观得到的 3 种转移。

考虑钦定之间的替换，如果当前是 $f(i,j,*)$，那么转移必须是一路匹配。

直至 $j'$ 到 $i$ 的距离 $>k$，也就是没有能够与 $i$ 匹配且被保留的不同种牛出现。

找到最近的 $(i',j')$ 和判断能否一路匹配都可以通过预处理求出。

Platinum - C - HILO P

• 和 G 的 T2 类似，但是变为已知 $x+0.5$，求所有排列出现的 HILO 之和。
• $n\leq 5000$。

很妙的状态设计。

首先需要有一个积累，就是因为排列的高度对称和等可能性，这种问题等价于求期望再 $\times n!$。

往往期望是比计数好求的，这道题有十分直观的体现。

设 $f(i,j,0/1)$ 表示，比 $x$ 低的还有 $i$ 个数可以问，比 $x$ 高的还有 $j$ 个可以问，上一次询问回答是 LO/HI 的答案。

答案显然就是 $f(x,n-x,0)$，DP 顺序实际上逆序了这个过程，有比较显然的转移方程：

$$\displaystyle f(i,j,0)=\frac{\displaystyle \sum_{0\leq i'<i} f(i',j,0)+\sum_{0\leq j'<j} f(i,j',1)}{i+j}$$

$$\displaystyle f(i,j,1)=\frac{\displaystyle \sum_{0\leq i'<i} f(i',j,0)+\sum_{0\leq j'<j} f(i,j',1)}{i+j}+\frac{i}{i+j}$$

可前缀和优化。

JAN

GOLD - A - Drought G

• 求满足条件的长度为 $n$ 的序列的个数：
  • 每个位置给定上届 $h_i$，即 $a_i\in [0,h_i]$。
  • 可以通过任意次相邻两个数 $-1$ 将序列变换为全部相同。
• $n\leq 100, h_i\leq 1000$。

思考方向全在充要条件上，完全没观察数据范围。

弄了半天，唯一有点用的结论是：

• 如果 $N$ 为偶数，符合条件的序列得到的结果可以是任意 $\leq \text{Mx}$ 的数字，$\text{Mx}$ 指最大最终序列值。

• 如果 $N$ 为奇数，且它符合条件，那么最终局面唯一。

实际上很简单，值域这么小就是要你过题的，直接考虑 $O(NV^2)$ 的做法。

对于奇数枚举最终的 $a$，偶数钦定 $0$ 即可。

然后把数字都 $-a$，$f(i,j)$ 表示前 $i$ 个，$1\sim i-1$ 被消成了 $0$，第 $i$ 个剩余为 $j$。

显然第 $i$ 个的剩余数字必须全部被 $i+1$ 消掉，所以就有：

$$\displaystyle f(i,j)=\sum_{j+k\leq h_i} f(i-1,k)$$

前缀和优化即可，最终答案就是 $f(n,0)$，都是显然的。

GOLD - B - Farm Updates G

• 给定 $n$ 个农场，初始时都是开放的，$Q$ 个时间点有操作：
  • 使一个农场不开放。
  • 在两个开放的农场之间添加双向一条边。
  • 删除之前添加的某一条边。
• 对每个农场，求它能到达至少一个不是它自己的开放的农场的最晚时刻。
• $n\leq 10^5,q\leq 2\times 10^5$。

一开始没看到第二个限制，想了一大堆线段树分治，LCT 什么的。

实际上直接倒序做，遇到操作二可以无视，因为完全不改变是否开放的状况。

相当于只加边不删边，直接维护连通块，拿 set 维护当前集合，启发式合并即可。

实际上这样很蠢，每干掉一个集合，它之中的数就用不到了。

直接 bfs 一边，把访问过的标记一下，就可以做到 $O(n)$，所以这是普及题 QwQ

GOLD - C - Tests for Haybales G

• 构造满足要求的序列：
  • $0\leq x_1\leq x_2\leq \cdots \leq x_N$。
  • 给定了 $\text{Mx}_i$，它是最大的满足 $x_{j}\leq x_i+K$ 的下标 $j$。
• $K$ 和序列都由你构造。
• $n\leq 10^5,k,x_i\leq 10^{18}$。

比较神的构造。发现 $\leq$ 很不好用，将 $\text{Mx}_i+1$ 并改成 $<$。

那么，考虑建边 $\text{Mx}_i+1\to i$，发现这是一棵以 $N+1$ 为根，恰好 $N$ 条边的连通树。

在树上，儿子节点 $+K$ 需要严格 $<$ 父亲。

而在同层，一定是编号连续的一段，且编号大的值也更大。

那么，考虑能否令每一层都有一个底数 $K\times \text{dep}$（这里的 $\text{dep}$ 是从最底层开始的，即 $n+1$ 的 $\text{dep}$ 最大）。

然后每次层的树加上偏移量，发现确实可行。只需要满足：

• 同一层，编号大的偏移量大。
• 父亲的偏移量严格 $>$ 儿子。

按照 bfs/dfs 序，每次先走最大编号的子节点，偏移量从大到小，都是可行的选择。

而 $K$ 的取值只要严格大于偏移量的最大值即可，例如 $N+1$。

Platinum - A - Minimizing Haybales P

• 给定序列，每次可以交换其中大小相差不超过 $K$ 的。
• 求能得到的序列中，字典序最小的。
• $n\leq 10^5$。

做法很多，这里说一个稍微科技一点的（LOJ 最劣解）。

实际上，这一类交换的题目，能得到的充要，都是不能交换的数对相对位置不变。

如果将所有点向它前面不能交换的点连边，相当于求最小字典序拓扑序。

这是一个熟悉的转化。

但是 它前面 和 不能交换 相当于二维偏序，普通的线段树优化建图不能支持。

这是后很自然的可以考虑到主席树优化建图，十分类似，唯一需要注意的点是 旧节点 要向 新建的节点 连边。

相当于是传递限制的方式。

最终拓扑排序的时候，$>n$ 的主席树上虚节点优先即可。

Platinum - B - Counting Haybales P

• 给定一个序列，每次可以交换绝对值恰好为 $1$ 的相邻位。
• 求可能的最终序列的方案数。
• $n\leq 5000$。

确实这种计数问题非常陌生。

实际上，还是可以图论建模（向相同 / 相差 > 1 的前面节点连边），得到一个 DAG。

相当于求不同拓扑排序数，对于一般 DAG 是无法统计的。

但观察性质，发现对奇偶分开讨论，同奇偶性的数字直接顺序固定，一定连出一条链。

那只需要和求最长公共子序列一样， 看每次连的边是否在另一个节点的前面即可，时间复杂度 $O(N^2)$。

Platinum - C - Multiple Choice Test P

• 给定 $n$ 组向量，每组至少包含两个向量，由 $(x_i,y_i)$ 表示。
• 要求在每组中选择一个向量，使得向量总和距离原点最远。
• 向量总和 $\leq 2\times 10^5$。

科技题，对每组求凸包再启发式合并求闵可夫斯基和。

FEB

前置知识

高维前缀和，根据Oi Wiki的介绍。

设维度为 $D$，元素数为 $U$，那么支持在时间 $O(DU)$，空间 $O(U)$ 下得到 $f$ 的高维前缀/后缀和。

前缀和的伪代码，$\text{state}'$ 表示在第 $i$ 维比 $\text{state}$ 少 $1$ 的元素。

for state
	sum[state] = f[state];
for i = 0 to D
	for 从小到大枚举 state
		if state 是第 i 维的极小元素 continue;
		else sum[state] += sum[state']

后缀和是类似的，$\text{state}'$ 表示在第 $i$ 维比 $\text{state}$ 多 $1$ 的元素。

for state
	sum[state] = f[state];
for i = 0 to D
	for 从大到小枚举 state
		if state 是第 i 维的极大元素 continue;
		else sum[state] += sum[state']

GOLD - A - Redistributing Gifts G

• 有 $n$ 个礼物，分给 $n$ 个人，初始第 $i$ 个人分得第 $i$ 号礼物。
• 每个人有一个自己礼物排名（$n$ 的排列），求有多少种重分礼物的方案，使得每个人得到的礼物不比原本的差。
• $m$ 次询问，每次将人分成两组，要求此次询问同组之间才能交换。
• $n\leq 18,m\leq 10^5$。

每个人 $i$ 向自己心目中排名在 $i$ 前的连边，相当于求图环覆盖数量。

钦定环中编号最小的点为关键点，$f(i,s)$ 表示当前在 $i$，已经经过了 $s$ 集合，可以 $O(n^22^n)$ 得到每个集合的成环方案数 $g(s)$。

再次钦定换中最小的点作为状态划分，可以 $O(3^n)$ 得到每个集合的答案 $h(s)$。

GOLD - B - Cow Camp G

• 对一道题进行 $k$ 次提交，这道题有 $t$ 个测试点，除了第一个是样例必对外，其余点都有 $1/2$ 的概率正确。
• 每次提交的得分为正确的测试点个数，求 $k$ 次提交的得分最大值的期望。
• $k\leq 10^9,t\leq 1000$。

设 $p_i$ 表示一次提交正确 $i$ 个的概率，显然 $\displaystyle p_0=0,p_1=1,p_i=\binom{t-1}{i-1}\times \frac{1}{2^{T-1}}$。

设 $f(i)$ 表示猜测 $i$ 次的答案，有递推式：

$$\displaystyle f(i)=\sum_{j=1}^t p_i\times \max(i,f(i-1))$$

预处理 $i\times p_i$ 的后缀和 $g$，以及 $p_i$ 的前缀和 $h$，转移就是：$f(i)=f(i-1)h(\lfloor f(i-1)\rfloor) + g(\lceil f(i-1)\rceil)$。

发现 $f$ 的值一定 $<t$，故转移系数只有 $O(t)$ 次不同，二分 + 矩阵加速即可。

GOLD - C - Moo Network G

• 给定平面内 $n$ 个点，两点间距离为欧几里得距离，求最小生成树。
• $n\leq 10^5,x_i\leq 10^6,y_i\leq 10$。

发现 $y$ 这一维很小，同时发现考虑每个点对每一种 $y$ 连边时，只需要考虑 $x$ 的前驱和后继，于是暴力连 $3n$ 条边即可。

Platinum - A - Paint by Rectangles P

• 给定平面内 $n$ 个矩形，保证 $x,y$ 均是 $2n$ 的排列。
• 矩形的边界把平面划分成了多个区域，定义无穷大的区域为白色，然后将图黑白染色。
• 分别求出黑色区域和白色区域的数量。

感觉这种大胆设计算法的能力真的是天赋……

考虑扫描线，每次无论加入删除，均将区间内元素取反并均 $+1$。在删除时两端的颜色段会和外界合并，需要 $-1$。

多画几种情况，发现一个连通块最右侧结束时，最外侧的异色块会被多减恰好一次，需要加回来。

考虑用树状数组维护扫描线，用 set 维护同一连通块的补值。

Platinum - B - Sleeping in Class P

• 给定一个序列，每次可以：
  • 合并相邻两个数，变成两者之和。
  • 将一个数拆成两个正整数，它们的和为原数。
• $m$ 次询问，求将序列变为全部是 $q_i$ 的最小变换次数。
• $n,m\leq 10^5,a_i,q_i\leq 10^{18}$。

求一遍前缀和，有解的充要是 $q_i|a_n$。

再随便想个贪心结合样例，发现 $\displaystyle Ans=n+\frac{a_n}{q_i}-2\sum_{i=1}^n[q_i|a_i]$。

于是问题变为求序列中，是某个数倍数的数。

因为是 $a_n$ 的约数，所以先 Pollard-Rho 把 $a_n$ 分解。

然后变成了一个元素数和维数分别为 $d(a_n)$ 与 $\omega(a_n)$ 的高维前缀和，直接上科技就没了。

高维前缀和的严格 Hash 方法是将每一维看作一个进制位，每一位进制的上限可以不同。

Platinum - C - Phone Numbers P

• 有一个九键键盘，你为了快速输入可能会选择同时按下 $1\times 2$ 或者 $2\times2$ 的格子们。
• 但是你高估了自己的能力，同时按下的键会乱序排列。
• 给定最终得到的数字串，长度为 $n$，求可能的目标串个数。
• $n\leq 10^5$。

深刻理解，DP of DP 不仅需要 ”信仰状态跑不满“，更需要从各种角度出发寻找一些看似无用的剪枝，就像早期学习搜索一样。

考虑给定序列 $a$ 如何判定 $b$ 是否合法，设 $f(i)$ 表示前缀 $i$ 是否合法，它为 true 当且仅当：

• $f(i-1)$ 合法，且 $b_i=a_i$。
• $f(i-2)$ 合法，且 $b_i,b_{i-1}$ 是 $a_i,a_{i-1}$ 的排列，且数值上满足要求。
• $f(i-4)$ 合法，且 $b_{i-3}...b_i$ 是 $a_{i-3}...a_i$ 的排列，且数值上满足要求。

看看压缩的状态，$f(a,b,c,f_0,f_1,f_2,f_3)$ 总数 $9^3\times 2^4$……

发现可以直接用 $f(a,b,c,d)$ 表示，如果对应不合法就记录特殊字符（例如 $-1$），降到 $10^4$……

当然显然合法状态数远小于这个值，但想通过还需要一个看似不起眼的可行性剪枝。

那就是如果仅考虑这 $1/2/3$ 位与后面怎么结合都不合法就直接去掉，这样就能通过了，据说单位置状态峰值 $\leq 50$。

OPEN

GOLD - A - Apple Catching G

• 数轴上，某时刻某位置出现某数量 奶牛/苹果。
• 每只奶牛自出现开始，每时刻可以移动 $1$ 单位长度。
• 苹果只能在出现时刻被接到，接到一个苹果的奶牛将离开，求最多能接到的苹果数。
• $n\leq 2\times 10^5$。

很巧妙的题目，赛时的思考是拆成两个不同的不等式分别贪心，但总找不到合理的贪心策略。

将题目可视化、平凡化的转换成几何模型是很有效的解题方法！

实际上，可以将 奶牛/苹果 表示成平面上 位置、时间的 $(x,t)$ 二元组。

奶牛 $i$ 能接到苹果 $j$ 的条件是：$|x_i-x_j|\leq |t_i-t_j|,t_i\leq t_j$。对应在平面上，就是 V 形的区域。

突发奇想，将每个点按照原点顺时针旋转 $45$ 度， 坐标变为 $(\cfrac{t+x}{\sqrt 2},\cfrac{t-x}{\sqrt 2})$。

好处是，区域变成了右上的矩形。同时将坐标 $\times \sqrt 2$ 是不影响的，然后就是非常简单的贪心。

将所有苹果按照 $x$ 升序排序，每次加入 $x\leq$ 它的奶牛，然后选择 $y$ 最大的 $\leq$ 它的奶牛即可。

GOLD - B - Pair Programming G

• 定义表达式由两种运算构成：
  • 乘法：$\times d$，其中 $d\in[0,9]$，是具体的数字。
  • 加法：$+s$，其中 $s$ 是一个从未出现过的变量名。
• 给定两个长度均为 $n$ 的表达式，将它们归并，求本质不同的新表达式个数。
• $n\leq 2000$。

如果 $\times 0$ 就把之前的运算清空，$\times 1$ 直接忽略，剩下的不同种类运算顺序不同一定导致本质不同。

即唯一能导致重复的是相邻同级运算的交换。

考虑多记录 $f(i,j,0/1)$ 表示上一次用的是 $a_i$ 还是 $b_j$，钦定 $0/1$ 转换的某个方向需要运算种类不同即可。

GOLD - C - Balancing a Tree G

• 每个点有权值范围，要求你钦定每个点的权值。
• 满足，全局的 $(i,j)$（其中 $i$ 是 $j$ 的祖先）的 $|a_i-a_j|$ 的最大值最小。
• $n\leq 10^5,0\leq l_i\leq r_i\leq 10^9$。

官方题解的做法很妙妙，再看这个解法感觉暴力多了。

先一手二分答案，设为 $\lim$。

然后想一个 naive 的贪心，考虑直接自底向上推，每次向上限制范围 $|l-\lim,r+\lim|$，每次求交，后再向上推。

但是，有可能当前值是由某一次的 $l-\lim$ 扩展来的，此时再次 $-\lim$ 扩展就出现了值域被错误的扩大的问题。

考虑这种情况出现的原因，是因为某个祖先和子孙的值域相差超过 $\lim$。

目的很明确，可以直接先从上往下收缩一次，把值域控制在较小的差中，再从下往上收缩一次即可。

输出方案也是类似的，在可选范围内任意钦定即可。

Platinum - A - 262144 Revisited P

• 给定序列，每次可以将相邻的两个数 $x,y$ 合并成 $\max(x,y)+1$，求最终剩下的一个数最小是多少。
• 对给定序列的所有子区间均求答案。
• $n\leq 2^{18}$。

区间 DP 能轻松 $O(n^3)$，一手单调性就能做到 $O(n^2)$。

其余只能说待补吧。

Platinum - B - Hoof and Brain P

• 给定有向图，$m$ 次询问，每次给出两个点 $s,t$ 的初始位置。
• 每回合 B 会指定一个点，H 则需要选择它的一个出边并移动。
• 任意时刻如果两个点重合或被选择的点无法移动，那么 B 胜利；反之如果游戏能无限进行下去，那么 H 胜利。
• 判断每次询问谁会胜利。
• $n\leq 10^5,m\leq 2\times 10^5$。

首先如果一个点不能走到某个环上那么是必输的，可以删除这些点。

然后考虑将出度为 $1$ 的点和它出边指向的点合并，这样容易发现两个点会重合的充要条件是 $s,t$ 属于同一点集。

洛谷题解区给出了 ”支配“ 的概念并引出了多个优美的性质，虽然感觉小题大做了但确实厉害（崇拜）。

只需要启发式合并 + map 就能做到两只 $\log$。

Platinum - C - Up Down Subsequence P

• 给定长度为 $n$ 的排列和长度为 $n-1$ 的要求序列。
• 要求为两个相邻位数字的大小关系。求选出一个子序列，使得能满足要求序列的某个前缀，求前缀的最长长度。
• $n\leq 3\times 10^5$。

容易设计一个 $O(n^2)$ 的 DP，设 $f(i,j)$ 表示考虑前 $i$ 个位置，子序列长度为 $j$，最后一位的 最大/最小值。

如果要求是 U 就维护最小值，反之则是最大值。

考虑用两棵线段树分别动态维护 U 和 D 的序列，发现大小都是单调的，每次能更新的也都是对方的一个前缀，直接做就好了。