wqs二分学习笔记
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设想这样一类问题，要求从 \(n\) 个物品中选择某 \(m\) 个，其中满足某种限制的必须有恰好 \(k\)，同时最优化答案。
这样看上去很棘手的问题可以用 wqs 二分轻松解决。懒得画图，懂的都懂（
首先给模板题：
求无向图的最小生成树，每条边为黑边或白边，要求有恰好 \(x\) 条白边。
首先设 \(f(i)\) 表示 \(x=i\) 时候的答案，求得最小生成树，设它含有的白边数量为 \(t\)，那显然 \(f(t)\) 是最小的。
同时 \(i\) 离 \(t\) 越远，\(f(i)\) 也会不断增大，所以将 \(f(i)\) 的图像画出来是一个下凸壳的形状，即斜率递增的图像。
现在需要求的是 \(f(x)\)，考虑二分斜率，若每次都能根据斜率求出对应切点的横纵坐标，就能够解决问题。
根据切点的性质，当前斜率 \(k\) 经过这个点得到的直线的截距一定是最大的。
设 \(g(i)\) 表示截距，有 \(g(i)=f(i)-k\times i\)，它也可以表示为，每个白边减去 \(k\) 后，没有限制的最小生成树。
并且在生成树过程中，可以同时得到 \(i\)，那么也就得到了 \(f(i)\)，于是就都解决了。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 5e4 + 10;
const int M = 1e5 + 10;
int n, m, k, ans, fa[N], head[N];
struct Edge{int u, v, w, c;} e[M];
int read(){
int x = 0, f = 1; char c = getchar();
while(c < '0' || c > '9') f = (c == '-') ? - 1 : 1, c = getchar();
while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
return x * f;
}
bool cmp(Edge a, Edge b) {
return a.w != b.w ? a.w < b.w : a.c < b.c;
}
int Get(int x) {
if(x == fa[x]) return x;
return fa[x] = Get(fa[x]);
}
bool Chck(int mid) {
for(int i = 1; i <= m; i ++) if(e[i].c == 0) e[i].w -= mid;
sort(e + 1, e + m + 1, cmp);
for(int i = 1; i <= n; i ++) fa[i] = i;
int cnt = 0; ans = 0;
for(int i = 1; i <= m; i ++) {
int u = Get(e[i].u), v = Get(e[i].v);
int w = e[i].w, c = e[i].c;
if(u != v) {
ans += w;
cnt += (c == 0);
fa[u] = v;
}
}
for(int i = 1; i <= m; i ++) if(e[i].c == 0) e[i].w += mid;
return cnt >= k;
}
int main() {
n = read(), m = read(), k = read();
for(int i = 1; i <= m; i ++) {
int u = read() + 1, v = read() + 1;
int w = read(), c = read();
e[i] = (Edge){u, v, w, c};
}
int l = - 100, r = 100;
while(l < r) {
int mid = (l + r) >> 1;
if(Chck(mid)) r = mid;
else l = mid + 1;
}
Chck(l);
printf("%d\n", ans + k * l);
return 0;
}
结尾彩蛋：
