回文自动机学习笔记

前言

考试遇到了新科技，所以不得不学一下。

根据各种自动机的姿势，PAM 是处理回文问题的有力工具。

OI-Wiki 讲的是好的，推荐学习。

PAM 的实用性在于，它用至多 \(O(n)\) 个节点存储了所有的回文串，Manacher 与之相比则有很大局限性。

构树

Manacher 利用插入 # 的方法避免的回文串长度奇偶性的讨论，因为这个讨论真的很麻烦。

而 PAM 的方法为，建立两个根，分别为奇根和偶根。

每个节点承载的信息，基本的 PAM 需要记录 \(len(i),fail(i)\) 分别表示节点 \(i\) 代表的回文后缀的长度和失配指针。

假设奇根的下标为 \(1\)​​，偶根的下标为 \(0\)​，那么 \(len(0)=0,fail(0)=1,len(1)=-1\)​。

而奇根不需要 \(fail\)​ 指针，因为每个字符一定能和​自己形成长度为 \(1\) 的回文串。

每个 \(fail\)​ 指针实际指向的是自己的最长回文后缀，这个和大部分自动机是一样的。

考虑每次加入一个字符，都利用上一次的插入位置，跳 \(fail\) 来匹配回文串。

考虑在两头加字符，这时候奇根的 \(-1\) 就有很好的优势了，代码：

int Node(int l){
	tot ++;
	memset(ch[tot], 0, sizeof(ch[tot]));
	len[tot] = l;
	fail[tot] = 0;
	return tot;
}

void Build(){
	tot = - 1;
	n = las = 0;
	Node(0), Node(-1);
	fail[0] = 1;
}

int Get_Fail(int x){
	while(str[n - len[x] - 1] != str[n]) x = fail[x];
	return x;
}

void Insert(char c){
	str[++ n] = c;
	int now = Get_Fail(las);
	if(!ch[now][c - 'a']){
		int x = Node(len[now] + 2);
		fail[x] = ch[Get_Fail(fail[now])][c - 'a'];
		ch[now][c - 'a'] = x;
	}
	las = ch[now][c - 'a'];
}

性质&应用

可以证明一个字符串本质不同的回文串个数至多为 \(O(|S|)\) 个，所以回文树节点个数是 \(O(n)\) 的。

如果需要统计一个字符串的本质不同回文子串个数，那么就是自动机的状态数。

而且可以在自动机上 DP 或利用它 DAG 的本质维护些奇奇怪怪的东西，反正都是线性的。

啥你需要模板题。

直接从最长后缀开始沿着 \(fail\) 指针遍历即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
const int N = 3e5 + 10;
int n, tot, las, ch[N][30], len[N], cnt[N], fail[N];
char str[N];

int read(){
	int x = 0, f = 1; char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9') f = (c == '-') ? -1 : 1, c = getchar();
	while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - 48, c = getchar();
	return x * f;
}

int Node(int l){
	tot ++;
	memset(ch[tot], 0, sizeof(ch[tot]));
	len[tot] = l;
	cnt[tot] = fail[tot] = 0;
	return tot;
}

void Build(){
	tot = - 1;
	n = las = 0;
	Node(0), Node(-1);
	fail[0] = 1;
}

int Get_Fail(int x){
	while(str[n - len[x] - 1] != str[n]) x = fail[x];
	return x;
}

void Insert(char c){
	str[++ n] = c;
	int now = Get_Fail(las);
	if(!ch[now][c - 'a']){
		int x = Node(len[now] + 2);
		fail[x] = ch[Get_Fail(fail[now])][c - 'a'];
		ch[now][c - 'a'] = x;
	}
	las = ch[now][c - 'a'];
	cnt[las] ++;
}

int main(){
	scanf("%s", str + 1);
	Build(); int t = strlen(str + 1);
	for(int i = 1; i <= t; i ++) Insert(str[i]);
	LL ans = 0;
	for(int i = tot; i >= 2; i --){
		if(fail[i] > 1)
			cnt[fail[i]] += cnt[i];
		ans = max(ans, 1LL * cnt[i] * len[i]);
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}