联合省选 2021 游记
前言
第一次参加省选，意料之中的失败了，但是也学到了很多。
目前初三，中考ing，考完自然是回归 whk。
人在 JX，B 卷，最后总分简直没法看：100 + 40 + 12 + 60 + 25 + 60 = 297，挂分太严重。
Day -1
日常敲板子 + 调整心态。
自我安慰说即使失败了也还有两年。
回顾停课的一段时间发现已经进步了不少，即使最终没有进队也确实学习到很多了。
同时也难免期待着奇迹的发生。
然后就是展望高中生活了，虽然不知道中考最后会怎么样。
Day 0
因为不是本市比赛，下午就要出发，所以上午早早地就起床，把计划中的练手题都打掉。
但是发现题目准备的太多了，然后又都感觉很重要，所以一直到晚上到宾馆之后还在敲题目...。
最后九点多的时候总算敲完了。
然后就是水群 + 膜神仙涨 rp，发各种 rp ++。
Day 1
没心情吃早饭，也习惯了不吃早饭。
起得挺早的，没事在校园里散了会步，算是调整心态吧。
然后提前一个小时到考场所在楼，硬是找了半个小时考场...。
然后又在门口等了十分钟，提前二十分钟把人都放进去了，看见不少 Dalao 倒是真的。
没事敲了个快读模板，试了一下编译器，又想敲个 LCT，结果敲一半被告知发题了。
T1 一眼水题，非常符合 B 卷风格。敲完 + 拍上用时 15 min。
然后 T2 没有一眼，感觉很慌，决定先看完所有题目。
T3 看上去很不可做，遇到这种新定义函数的题目就望而却步了，还是心态太慌。
回头看 T2 后先打了 40 pts 的暴力代码，想着如何优化。
我的方法和大众的双指针好像不太一样，暴力代码用的是 二分答案 + 暴力 \(O(n^2)\) 判定。
然后发现问题转化一下之后变成经典的二维数点问题，于是上个主席树就 \(O(n\log^2 n)\) 切掉了（吗？
然后硬调了 2h + 没有调出来，心态当场爆炸。
最后 30 min 也没时间分析 T3 的性质，只能 16 pts 跑路，检查一下文件输入输出就交卷了。
出考场慌得一批，想着本来能切但却无能为力的 T2，估分 100 + 40 + 16 = 156。
晚上没心情看题目了，但是突然发现考生源代码发了下来，就决心把 T2 改过。
然后不到 10 min 就发现是一个 last 打成了 p，改了之后开 o2 民间数据跑得飞快，不开也有 90 pts。
于是就是各种后悔了...。
分析了一下，认为如果是 100 + 100 + 16 就挺大众分的，但 100 + 40 + 16 就基本没希望了。
于是就只能听天由命了。
最后成绩：100 + 40 + 12 = 152，至今不知道 T3 暴力哪里写挂了，但也没有大影响。
Day 2
同样不想吃早饭，同样去散步。
同样提前 20 min 进考场，发现昨天的文件都没有删除，于是抢着把昨天 T2 的代码改对来，当然于事无补。
然后接着把打到一半的 LCT 打完了。
发题，T1 没有一眼，但是和昨天一样很 CF 风。
T2 树上问题，想了很多但是都被自己 Hack 了，个人认为有一个想法已经比较接近正解了。
但是想的更多的还是树上莫队，然后发现应该是 树上回滚莫队，然后发现不会...。
口胡了很久都不知道如何把 树上莫队和回滚莫队结合，还是太菜了。
T3 发现全排列就 60 pts 了，暴力分还是很足的。
于是就先拿了 T1 和 T3 的 60 pts，T2 暂留。
然后想 T1 正解，想过从大往小判断，小于答案直接 break，但个人认为这只是一个小剪枝而已，
然后发现如果所有数都一样，或者相同的数很多，那么这种做法就直接卡到 \(O(n^2)\) 了，于是弃了。
然而令人好奇的是，官方数据就直接放这种做法过去了，不知道为什么。
然后就回忆之前 CF 中有关 mod 的结论题，想起来都和最大的数字有关，于是就上了个伪结论。
就是模数一定是最大的数，显然是不靠谱的，但是大样例和随机样例上面十分优秀，拍了 2000 组没有问题。
然后就扔了。
看 T2，发现还是不会，只好拿 25 pts 跑路。
再看 T3，发现将枚举全排列改为 dfs + 剪枝 可以将时间复杂度变为 \(O(\rm Ans)\) 的，于是赶快写了。
然后大样例跑得飞快，而且还没开 o2。
然后就各种想 T2，最后到交卷都基本没有动过键盘了。
出考场估分：[60,100] + 25 + [60,80] = [145,205]。
感觉如果是最高分 + 昨天调出 T2 的分数就挺可观的（216 + 205 = 421），但是显然不太现实。
最后出分：60 + 25 +60 = 145。
可以发现出数据人的水平在某些方面还是挺高的，但是就是不知道 T1 为什么放假做法过了。
然后简单了解了一下 T2 正解，发现还是题目做少了，思想类似倍增 Lca，再套上个二分，其实不难...。
然后就回家自闭 whk 去了，但是由于民间随机数据的优秀表现，总是还有抱有一丝希望。
Day now
上午看到了 JX 成绩的总表，发现自己 rk 16，果然还是弱。
然后那些熟悉的，一直作为榜样的 Dalao 们还是进队了，意料之中。
和他们之间还是有差距吧，也不敢再奢求什么了，也成长了很多，成绩也很好的反馈了这段时间的努力。
毫无疑问努力是值得的，虽然或许结果并不令人满意吧。
被教练安慰说去掉前面高二退役的 Dalao 们可以派上 rk 6，所以预料我明年稳进队...。
好像还挺有道理的
20-21 赛季对我来说就全部结束了，还是那句话，不敢再奢求什么了。
虽然这个赛季总体还是伤心偏多，但是也让自己认识到了很多吧。
很幸运的在 JX 这个竞争力不太强的省份，又很幸运的能有那么多 Dalao 作为榜样。
值得继续努力下去吧，毕竟 21-22 赛季也还差 200 余天就来了。
还有就是希望新的高中生活能够变得更好吧，无论是 whk 还是 OI 了。
愿所有 OIer 皆学有所成。
简单题解
Day1 T1
符合 B 卷难度，直接 \(O(n\log n)\) 调和级数枚举倍数即可。
简单题不放代码。
Day1 T2
已经想到正解但是没打出来...。
将所有数排序，然后二分答案，检验时使用双指针可以 \(O(n)\)，总复杂度 \(O(n\log n)\)。
考场上想到的是再来个二分 \(O(n\log^2 n)\) 也是可以的，但是不知道哪里想多了。
一个前后缀和就可以维护的东西，突然联想到用主席树维护...。
Day1 T3
思维题。
按照常规不能考虑一个一个判定，要考虑每个点对对答案的贡献。
比较难想的地方是，得到每个点对最晚断开的时间，然后差分得到答案。
再来一个转化就是 \(f(u,G)\) 即满足不经过小于两端点的点能互相到达的点对数量 \((u,v)\)。
然后就是 Floyd 的事情了。
还要注意卡常，循环展开一下 \(O(n^3)\) 就跑不满了。
Day2 T1
玄学题，什么方法都有就是了，怎么骗都能过脚造数据把。（于是我没过）
Day2 T2
倍增 + 主席树维护。
首先预处理倍增数组，\(f_0(u,i)\) 表示从 \(\rm col(u)\sim col(u)+2^i\) 这条颜色路径的另一个端点的位置。
由于还要处理向下的链，所以还要类似的定义一个 \(f_1\)。
然后需要利用主席树实现操作 \((u,c)\) 表示 \(u\) 的祖先中颜色为 \(c\) 的最深的位置，这是基础操作了。
然后处理向下的链时，由于不知道端点，但是有显然的单调性，所以二分个答案再利用主席树 + 倍增即可判定。
然后就 \(O(n\log^2 n)\) 大常数解决了这道题。
Day2 T3
目前只会 \(O(n!)\) 的暴力 60 pts，但觉得也差不多了。
回首
2022.5.1 一年后再回首，还有恰好一周迎来人生第二次省选。
从跌倒之地爬起，涅槃重生。（什么魔怔语录）
当时实际写过题解了，但是感觉实际上完全是以一个失败者/愤青的身份发泄的无能狂怒。
所以还是再正常分析下人生中第一场省选为好。
还放到 UOJ 上测了一下，发现几点：UOJ 的机子不慢、UOJ 的 Hack 质量很高、UOJ 的 Hack 喜欢卡常。
「联合省选 2021 A | B」卡牌游戏
给定 \(n\) 张正反两面均有数字的牌，初始全部正面朝上，至多翻转 \(m\) 张，求最小极差。
\(\texttt{Difficulty 2}\)。
实际上当时的思路挺正确的，只是思维水平仅停留在用高级数据结构大力维护。
而这种能简单就简单，返璞归真的思维实际也就是最近才培养起来的。
直接把所有数排成一个序列，二分答案，双指针扫一遍，每次要求区间外的 正面 \(\leq m\) 个，且它们的 反面均在区间中。
直接维护前缀和，前后缀 min/max 即可。
「联合省选 2021 A」矩阵游戏
给定 \((n-1)\times (m-1)\) 的 \(B\) 矩阵，构造 \(A\) 矩阵满足 \(A_{i,j}+A_{i+1,j}+A_{i,j+1}+A_{i+1,j+1}=B_{i,j}\)，且 \(A_{i,j}\in[0,10^6]\)。
\(\texttt{Difficulty 3}\)。
调整法往往是构造的一个方向。
先假设 \(A_{n,j}=A_{i,n}=0\)，那么可以顺势递推整个矩阵，显然这之中可能有负数，还可能有 \(>10^6\)。
什么操作可以在保证正确性的情况下改变矩阵的值呢，发现可以对一行进行 \(+1,-1,+1,-1,\cdots\) 的交替操作。
这样是不改变任何 \(2\times 2\) 的矩阵的值的，对于列也一样。
如果设第 \(i\) 行最终加了 \(x_i\)，第 \(j\) 列加了 \(y_j\)，那么如上就是要求 \((-1)^{i-1} x_i+(-1)^{j-1}y_j+A_{i,j}\in[0,10^6]\)。
这是个和分约束，并没有什么好的方法维护。
但是差分约束是我们熟悉的，改变方法也很简单，发现可以让列 \(-1,+1,-1,+1,\cdots\)，反之就是每个格子的行列符号不同。
那么就变成了 \((-1)^{i+j-1}(x_i-y_j)+A_{i,j}\in[0,10^6]\)，这是不难维护的。
值得注意的是，建图得到的是个强连通图，也就是说任选一个点为起点即可。
「联合省选 2021 A | B」图函数
题意复杂。
\(\texttt{Difficulty 3}\)。
看上去很唬人的题目，一定不能被吓到，耐下心来分析条件。
枚举两个点之间加大的点 \(u\)，发现 \((u,v)\) 之间有贡献，当且仅当能仅通过 \(\geq v\) 的节点从 \(u\to v\) 和 \(v\to u\)。
这样的路径有很多，和删边有什么关联呢，发现需要最大化是路径上边的编号的最小值。
这样这条路径能贡献的图就最多，不难用 Floyd 维护上述过程。还是挺卡常的，一定要多减减枝。
「联合省选 2021 A | B」宝石
树上每个点有颜色，给定颜色序列，多次询问 \((s,t)\) 的树上路径上的最长子序列，满足它是该颜色序列的前缀。
\(\texttt{Difficulty 2}\)。
当时属于是学傻了，直接树上主席树 + 倍增 + 二分上就完了。
\(O(n\log^2n )\)，但目测常数很大。
「联合省选 2021 A | B」滚榜
题意复杂。
\(\texttt{Difficulty 3}\)。
首先要读懂题意，当时读了 30min 多的题，一定结合小样例！！！
每次的人都是要和没加的人一起排名的，每次的 \(b\) 单调不降。首先有 \(O(n!n)\) 的贪心检验方法。
扫一遍，若 \(a_i< a_{i-1}\) 则 \(b_i=b_{i-1}+(a_{i-1}-a_i)\)，否则 \(b_i=b_{i-1}\)。然后时刻要求 \(\sum b_i\leq m\)。
看数据范围大概正解是个状压，直接的想法是设 \(f(s,i,j,c)\)，表示当前集合 \(s\)，上一次是 \(i\)，且 \(b_i=j,\sum b=c\)。
但是状态就意味着逃不开 \(O(m^2)\) 的枚举，很不能接受。
这时代价提前计算的思想就十分重要，考虑根据上述贪心有 \(\sum b_i=\sum \max(a_{i-1}-a_i,0)\times (n-i+1)\)。
那么就可以顺势消掉一个 \(j\)，复杂度变为 \(O(n^22^nm)\)，可以接受。
「联合省选 2021 A」支配
若所有从 \(1\) 出发到 \(v\) 的路径都需要经过 \(u\)，那么称 \(u\) 支配 \(v\)。
多次询问，每次加一条边 \((s,t)\)，问有多少点能支配的集合发生了变化。
\(\texttt{Difficulty 5}\)。
不加证明地提出以下引理（实际上是支配树入门理论）：
- 加边只会让点的支配集合减小。
- 支配具有传递性，即 \(a\) 支配 \(b\)，\(b\) 支配 \(c\)，那么 \(a\) 支配 \(c\)。
- 支配具有树链性，即若 \(a\) 支配 \(c\)，\(b\) 支配 \(c\)，那么 \(a,b\) 之间存在支配关系。
- 设支配点 \(u\) 的点的集合为 \(D(u)\)，那么一定存在它的极大支配点 \(fa\)，满足 \(D(u)=D(fa)\cup\{fa\}\)。
- 根据 \(fa\to u\) 的关系建立支配树，支配一个点的集合就是它到根的树链，且原图的支配关系完全等价于该树。
根据定义可以处理出 \(\text{dor}(x,y)\) 表示删除 \(x\) 后是否有路径 \(1\to y\)，然后根据定义建立支配树。
于是归入树的部分分，那是很简单的。
一个点的受支配集发生变化，一定有 \(fa\) 不再支配 \(u\)，因为它是最容易改变的。
加入的边 \((s,t)\)，若在删除 \(fa\) 的情况下，有路径 \(1\to s,t\to u\)，那么就成功了。
于是在维护 \(\text{del}(x,y)\)，表示删除 \(fa(x)\) 后是否有路径 \(y\to x\)，建反图预处理即可，复杂度 \(O(n^2 +nq)\)。
「联合省选 2021 B」数对
入门题。
「联合省选 2021 B」取模
给定序列 \(a\)，求 \((i,j,k)\) 满足它们互不相等，且 \((a_i+a_j)\bmod a_k\) 最大。
\(\texttt{Difficulty 3}\)。
说自己是愤青的来源。
根据取模相关的简单讨论，枚举 \(a_k\) 就可以暴力 \(O(n\log n)\) 检验取模后最大值。
所谓的小剪枝：将 \(a\) 降序排序，若有 \(\text{ans}\geq a_k\) 则 break。
实际上就保证了复杂度，设最终停在 \(x\)，即 \(a_x\leq \text{ans}<a_{x+1}\)。
那么 \(\forall i\in[x,n],\text{ans}\geq (a_{i-1}+a_{i-2})\bmod a_i\geq a_{i-1}+a_{i-2}-a_i\)，且这还是个放缩（只是取模讨论中的一小部分）。
那么有 \((a_i-\text{ans})\geq (a_{i-1}-\text{ans})+(a_{i-2}-\text{ans})\)，设 \(b_i=a_i-\text{ans}\)，那么它是以斐波那契的速度增长的。
显然最大也就 \(V\)，故最终 \([x,n]\) 这一区间长度一定是 \(O(\log V)\) 级别的，而且是个很松的上届。
