nyoj 742 子串和再续 类似 HDU 1024
子串和再续
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难度:4
- 描述
- 给你一个序列 S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). 我们定义
sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).现在给你一个 m(8>m>0&&m<n)你的任务是计算
sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) ;我们规定他是不相交的。
请输出m段最大和,比如:m = 2,n = 6 ,{-1 4 -2 3 -2 4} 它的结果是 9;
- 输入
- 输入 T,表示T组数据
第二行 分别是m,n; - 输出
- 请输出m段最大和
- 样例输入
-
1 2 6 -1 4 -2 3 -2 4
- 样例输出
-
9
PS:给定n个数求这n个数划分成互不相交的m段的最大m子段和。
经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前i个数划分成j段,且包括第i个数的最大m子段和,那么有dp方程:
f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) }
也就是说第i个数要么自己划到第j段,要么和前一个数一起划到第j段里面,转移是O(n)的,总复杂度O(n * n * m)。
可以引入一个辅助数组来优化转移。设g(i, j)表示前i个数划分成j段的最大子段和(注意第i个数未必在j段里面),那么递推关系如下:
g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)},分是否加入第i个数来转移
这样f的递推关系就变成:
f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i],转移变成了O(1)
这样最后的结果就是g[n][m],通过引入辅助数组巧妙的优化了转移。实现的时候可以用一维数组,速度很快。
AC代码:
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 #include<algorithm> 4 #include<cstring> 5 #include<string> 6 #include<cmath> 7 #include<map> 8 #include<queue> 9 using namespace std; 10 const int N=1e6+5; 11 const int INF=-0x7ffffff; 12 int g[N],f[N],a[N]; 13 int max_sum(int m,int n) 14 { 15 int i,j,t; 16 for(i=1; i<=n; i++) 17 { 18 t=min(i,m); //最大才m组,所以j不能大于t; 19 for(j=1; j<=t; j++) 20 { 21 f[j]=max(f[j],g[j-1])+a[i]; 22 g[j-1]=max(g[j-1],f[j-1]); 23 } 24 g[j-1]=max(g[j-1],f[j-1]); 25 } 26 return g[m]; 27 } 28 int main() 29 { 30 int i,j,k,t,m,n; 31 cin>>t; 32 while(t--) 33 { 34 cin>>m>>n; 35 g[0]=f[0]=0; 36 for(int i=1; i<=n; i++) 37 { 38 cin>>a[i]; 39 f[i]=g[i]=INF;//全部初始化为 最小值 40 } 41 cout<<max_sum(m,n)<<endl; 42 } 43 return 0; 44 }