nyoj 742 子串和再续 类似 HDU 1024

子串和再续

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难度：4

描述

给你一个序列 S1, S2, S3, S4 ... Sx, ... Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). 我们定义
sum(i, j) = Si + ... + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).现在给你一个 m（8>m>0&&m<n）你的任务是计算
sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + ... + sum(im, jm) ；我们规定他是不相交的。
请输出m段最大和，比如：m = 2,n = 6 ,{-1 4 -2 3 -2 4} 它的结果是 9;

输入

输入 T,表示T组数据
第二行 分别是m,n;

输出

请输出m段最大和

样例输入

1
2 6
-1 4 -2 3 -2 4

样例输出

9

PS：给定n个数求这n个数划分成互不相交的m段的最大m子段和。
　　 经典的动态规划优化的问题。设f(i, j)表示前i个数划分成j段，且包括第i个数的最大m子段和，那么有dp方程：
　　     f(i, j) = max { f(i - 1, j) + v[i], max {f(k, j - 1) + v[i]}(k = j - 1 ... i - 1) }
　　也就是说第i个数要么自己划到第j段，要么和前一个数一起划到第j段里面，转移是O(n)的，总复杂度O(n * n * m)。
　　可以引入一个辅助数组来优化转移。设g(i, j)表示前i个数划分成j段的最大子段和（注意第i个数未必在j段里面），那么递推关系如下：
　　     g(i, j) = max{g(i - 1, j), f(i, j)}，分是否加入第i个数来转移
　　这样f的递推关系就变成：
　　　　f(i, j) = max{f(i - 1, j), g(i - 1, j - 1)} + v[i]，转移变成了O(1)
　　这样最后的结果就是g[n][m]，通过引入辅助数组巧妙的优化了转移。实现的时候可以用一维数组，速度很快。

AC代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
#include<map>
#include<queue>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
const int INF=-0x7ffffff;
int g[N],f[N],a[N];
int max_sum(int m,int n)
{
    int i,j,t;
    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        t=min(i,m);        //最大才m组，所以j不能大于t；
        for(j=1; j<=t; j++)
        {
            f[j]=max(f[j],g[j-1])+a[i];
            g[j-1]=max(g[j-1],f[j-1]);
        }
        g[j-1]=max(g[j-1],f[j-1]);
    }
    return g[m];
}
int main()
{
    int i,j,k,t,m,n;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>m>>n;
        g[0]=f[0]=0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            cin>>a[i];
            f[i]=g[i]=INF;//全部初始化为 最小值
        }
        cout<<max_sum(m,n)<<endl;
    }
    return 0;
}