图论Dijkstra

Dijkstra和Bellman-Ford类似，都是解决单源最短路径问题，不同的是这个方法只能解决边为非负的问题，实现的好的Dijkstra算法运行时间要快于Bellman-ford。

算法步骤如下：

1.首先设置队列，所有节点入列，源节点值为0，其他节点值为无穷。

2.然后在队列中找值最小的节点并出列。

3.计算出列的节点所有后继节点的距离。

4.松弛方法，如果新计算的距离小于上次计算的距离，那么更新距离，即将后继节点值设为较小的距离，并将后继节点的前趋设为当前的出列节点。

5.对剩余的节点队列继续找最小值并出列，不断循环2、3、4步直到队列中没有节点了。

步骤是上面没错，不过我程序中没有完全按照上述的步骤实现。不同的地方在于我没有做出列操作，而是通过标记节点的形式实现的。

运行结果如下，图（是图不是图片）是算法导论367页上的：

matlab代码如下，netplot和compresstable2matrix和上一篇使用的一样：

main.m

clear all;close all;clc
%初始化邻接压缩表，1 2 10 表示从节点1到节点2，边的权重为10
b=[1 2 10;1 4 5;2 3 1;
   2 4 2; 3 5 4;4 2 3;
   4 3 9; 4 5 2;5 1 7;
   5 3 6];

m=max(max(b(:,1:2)));       %压缩表中最大值就是邻接矩阵的宽与高
A=compresstable2matrix(b);  %从邻接压缩表构造图的矩阵表示
netplot(A,1)                %形象表示

S=inf(1,m);         %从开始的源点到每一个节点的距离
S(1)=0;             %源点到自己的距离为0
pa=zeros(1,m);      %存储每个节点的前驱，在松弛过程中赋值
pa(1)=1;　　　　　　　%源点的前趋是自己　

visit=zeros(1,m);   %标记某个节点是否访问过了
index=1;            %从index节点开始搜索        

%判断是否对所有节点都找的最短路径了。可能会有源点没有路径到目标节点的情况，那就无限循环了
while sum(visit)~=m    %没有出队列操作，不过通过visit来等价的表示了
    
    visit(index)=1;                     %标记第index节点为已入列的节点
    [S pa]=relax(S,pa,A,visit,index,m);         %松弛，如果两个节点间有更短的距离，则用更短的距离
    index=extract_min(S,visit,index,m); %使用已访问的最小的节点作为下一次搜索的开始节点  

end
%最终我们需要的就是这两个值
S       %源点到其他每一点的距离
pa      %其他每一节点的前趋

%算法到此结束，下面只是为了形象的表示而写的。
re=[];
for i=2:m
    re=[re;pa(i) i A(pa(i),i)];
end
A=compresstable2matrix(re);  %从邻接压缩表构造图的矩阵表示
figure;
netplot(A,1)                %形象表示

relax.m

%边缘松弛，使用更短的距离作为节点的值
function [S pa]=relax(S,pa,A,visit,index,m)
   
   i=index;
   for j=1:m
        if A(i,j)~=inf && visit(j)~=1   %搜索没有标记过的节点
            if S(j)>S(i)+A(i,j)         %将较小的值赋给正在搜寻的节点
                S(j)=S(i)+A(i,j);
                pa(j)=i;
            end
        end        
    end    

end

extract_min.m

%提取队列中尚未标记的最小的值的序号
function index=extract_min(S,visit,index,m)

    Mi=inf;
    for j=1:m
        if visit(j)~=1
           if S(j)<Mi
                Mi=S(j);
                index=j;
           end
        end
    end    

end