算法学习（二）——堆排序

堆排序是另一种排序算法，它是一种原地排序算法，其运行时间为O(nlgn)，并且在任何时候，数组中只有常数个元素存储在数组以外。

在此之前要明确什么是堆，堆数组结构是一种数据对象，其可被视为是完全二叉树。树中每个结点与数组中的该结点值的那个元素对应。

表示堆的数组A有两个属性的对象：

length[A]是数组中的元素的个数

heap-size[A]是存放在A中的堆元素个数，也就是A[1..heap-size[A]]的元素是放在相应堆中，当然heap-size[A]]≤length[A]。

对于给定的某个结点i，

父结点下标： PARENT(i) return [i/2]，(将i的二进制表示右移一位)

左儿子下标为 LEFT(i) return 2i ，(将i的二进制表示左移一位)

和右儿子的下标为 RIGHT(i) 2i+1。(将i的二进制表示左移移一位再在低位加一)

堆分最大堆和最小堆，暂且只讨论最大堆，除根结点以外的每个结点i，有A[PARENT[i]]≥A[i]，即某个结点的值最多和其父结点的值一样大，所以根结点存放的即为堆的最大元素。

堆排序中有一些过程

对MAX-HEAPIFY(A, i)的调用，使得以i为根的子树成为最大堆，经过递归调用MAX-HEAPIFY(A, i)

MAX-HEAPIFY(A, i)

l  ← LEFT(i)
r  ← RIGHT(i)
if l ≤ heap-size[A] and A[l] > A[i]
    then largest ← l
    else largest ← i
if r ≤ heap-size[A] and A[r] > A[largest]
    then largest ← r
if largest ≠ i
    then exchange A[i] ↔ A[largest]
        MAX-HEAPIFY(A, largest)

 

建堆可以使用以下过程

BUILD-MAX-HEAP[A]

heap-size[A] = length[A] 
for i ← [length[A]/2] downto 1
    do MAX-HEAPIFY(A, i)

不难看出大于[length[A]/2]的结点都是堆的叶子结点，因此不需要构建最大堆，对剩余的结点，以其为子树的根结点构建最大堆，依次循环至根结点，则整个数组对应的堆也是最大堆。

 

下面对数组A[1…n]进行排序

HEAPSORT[A]

BUILD-MAX-HEAP[A]
for i ← length[A] downto 2 
    do exchange A[1] ↔ A[i]
        heap-size[A] ← heap-size[A] - 1
        MAX-HEAPIFY(A, 1)

首先构建最大堆，则根结点的元素为堆中的最大元素，从i为A的最末元素开始，将其与当前根元素替换，并且将i元素移出堆，再对剩下的堆元素进行MAX-HEAPIFY过程，构建最大堆。依次移除堆中的最大元素，按倒序仍然保存在数组A中，最终则对数组A完成了排序。