减一技术应用：生成排列与幂集
摘要： 使用减一技术生成N个自然数的排列及N个数的集合的幂集。
难度： 初级
减一技术，与二分搜索一样，是一种通用算法设计技术。它是分治法的一种特殊形式，通过建立问题实例P(n) 与问题实例P(n-1)的递推求解关系式而实现；最经典的例子莫过于插入排序了。这里，给出减一技术在生成排列组合方面的应用。
（一） 排列问题： 生成自然数 1,2,,,,,n 的所有排列。
算法描述：
使用减一技术，建立自然数12...n的排列与12...n-1的递推关系。假设 P（n-1） 是 自然数 12...n-1的所有排列 p1, p2,..., p(m)的集合，则P(n)通过如下方式得到： 对所有排列p1, p2, ... , p(m) ， 将 n 插入到 这些排列的 n 个位置上，得到的所有排列。 例如 12的排列为 12, 21, 则123的排列通过如下方式得到： 1. 将3插入到12中，得到 312，132,123；2. 将3 插入到21中，得到 321, 231, 213. 通过小例子往往能够为问题的求解指明道路。
“最小变化”要求： 有时，要求生成的所有排列中，相邻排列只有两个相邻位置不同。比如1234和1324是满足的，而1234和1432则不满足。上述方法生成的排列 312, 132,123, 321, 231,213 ， 123和321就不满足这个要求。解决方案是，当对排列pi采用从左往右插入完成时，对相邻排列pi+1采用从右往左插入。比如1中将3插入排列12是从左往右插入；则2中应该将3从右往左插入，得到213,231,321，这样，与前面的312,132,123就满足最小变化要求了。
详细设计：
1. 输入： 自然数 n
2. 输出： 所有排列的集合，每个排列用一个链表来表示（考虑到插入操作）； 所有排列用链表的可变列表（ArrayList）来表示。之所以采用这样的方式，考虑到之后可能要取出排列进行求解，比如分配问题。代价是空间效率很低。
3. 数据结构： 使用队列来存储 n-1 的所有排列； 然后取出队列中的每个元素， 将 n 插入到其中，得到 n 的一个排列。
package algorithm.permutation; import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.LinkedList; /** * Permutation: * Generate all the permutations of a given number. * * 生成 n 个数 的全排列。 * */ public class Permutation { /** * 每一个排列使用一个 LinkedList<Integer> 来存储, * 使用 LinkedList<Integer> 的 列表来存储所有的排列 * */ private ArrayList<LinkedList<Integer>> perms; /** * 使用 flag 作为交替 从左往右 和 从右往左 扫描的 标志 * 这样，可以实现排列“最小变化”的要求。 * 即：每相邻的两个排列，只有两个相邻位置的不同。 * */ private int flag = 1; /** 构造器 */ public Permutation() { if (perms == null) perms = new ArrayList<LinkedList<Integer>>(); } /** 生成 n 个数的全排列，并存储在 perms 中 */ private void createPerm(int n) { if (n <= 0) throw new IllegalArgumentException(); if (n == 1) { LinkedList<Integer> init = new LinkedList<Integer>(); init.add(1); perms.add(init); } else { createPerm(n-1); // 对每一个 n-1 的排列P(n-1), 将 n 插入到该排列 P(n-1) 的 n 个可能位置上， // 即可得到 n 个 相应的 n 元素排列 P(n) int length = perms.size(); for (int i=0; i < length; i++) { LinkedList<Integer> p = perms.get(i); if (flag == 0) { // flag = 0: 从左向右扫描插入 for (int j=0; j <= p.size(); j++) { LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p); pcopy.add(j, n); perms.add(pcopy); flag = 1; } } else { // flag = 1: 从右向左扫描插入 for (int j=p.size(); j >=0; j--) { LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p); pcopy.add(j, n); perms.add(pcopy); flag = 0; } } } // 删除所有的 P(n-1) 排列 for (int i=0; i < length; i++) { perms.remove(0); } } } /** 获取 n 个元素的全排列 */ public ArrayList<LinkedList<Integer>> getPerm(int n) { createPerm(n); return perms; } /** 复制 list 的元素到另一个列表， 并返回该列表 */ private LinkedList<Integer> copylist(LinkedList<Integer> list) { LinkedList<Integer> copylist = new LinkedList<Integer>(); Iterator iter = list.iterator(); while (iter.hasNext()) { Integer i = (Integer) iter.next(); copylist.add(i); } return copylist; } }
（二） 生成给定集合 {1,2,...,n} 的幂集，即给定自然数3，要生成其幂集： { {0}, {1}, {2}, {1,2}, {3}, {1,3},{2,3},{1,2,3} }
算法描述：
使用减一技术，建立问题实例P(n)与问题实例P(n-1)的递推求解关系。若P(n-1)是问题实例n-1的幂集，则问题实例n的幂集通过如下方式得到： powerset(n) = powerset(n-1) + powerset(n-1)∪ {n} ，即，对于n-1的幂集的每一个集合与{n}求并集，然后将得到的集合与n-1的幂集求并集。例如 {1} 的幂集为 {{0}, {1}} ，则 {1,2} 的幂集为 { {2} {1,2}, {0}, {1} } ，其中 {0} 表示空集， {0} ∪ {n} = {n}
详细设计：
1. 输入： 自然数 n
2. 输出： {1,2,..,n}的幂集，每一个子集使用一个LinkedList来表示，幂集使用LinkedList的可变列表ArrayList来表示和存储。
Java代码实现：
package algorithm.permutation; import java.util.ArrayList; import java.util.Iterator; import java.util.LinkedList; /** * PowerSet * Generate all the subsets of a given set. * * 生成给定集合的所有子集。 * */ public class PowerSet { /** * 每一个子集使用一个 LinkedList<Integer> 来存储, * 使用 LinkedList<Integer> 的 列表来存储所有的子集 * */ private ArrayList<LinkedList<Integer>> powerset; /** 构造器 */ public PowerSet() { if (powerset == null) powerset = new ArrayList<LinkedList<Integer>>(); } /** 生成 {1,2,3,……, n} 的 幂集 */ private void createPowerset(int n) { if (n < 0) throw new IllegalArgumentException(); if (n == 0) { LinkedList<Integer> empty = new LinkedList<Integer>(); powerset.add(empty); } if (n == 1) { LinkedList<Integer> empty = new LinkedList<Integer>(); LinkedList<Integer> init = new LinkedList<Integer>(); init.add(1); powerset.add(empty); powerset.add(init); } else { createPowerset(n-1); // powerset(n) = powerset(n-1) + powerset(n-1)∪ {n} int length = powerset.size(); for (int i=0; i < length; i++) { LinkedList<Integer> p = powerset.get(i); LinkedList<Integer> pcopy = copylist(p); pcopy.add(p.size(), n); powerset.add(pcopy); } } } /** 获取 n 个元素集合的幂集 */ public ArrayList<LinkedList<Integer>> getPowerset(int n) { createPowerset(n); return powerset; } /** 复制 list 的元素到另一个列表， 并返回该列表 */ private LinkedList<Integer> copylist(LinkedList<Integer> list) { LinkedList<Integer> copylist = new LinkedList<Integer>(); Iterator iter = list.iterator(); while (iter.hasNext()) { Integer i = (Integer) iter.next(); copylist.add(i); } return copylist; } }
算法分析：
减一技术的时间复杂度通常是: T(n) = T(n-1) + G(n) .
① 若 G(n) 为常数，则 T(n) = O(n) ; （连续子数组的最大和）
② 若 G(n) 为 O(logn)， 则 T(n) = O(nlogn) ； （堆排序）
③ 若 G(n) = an+b(a!=0) ，则 T(n) = O(n^2) . （插入排序）
因此， 当 G(n) 为常数或对数时， 减一技术是比较高效的。
