二叉树漫游：递归技术

 

        一、 二叉树编程概述

        程序 =数据结构+算法。更精确地说，任何程序的功能实现，从技术角度来说，通过选取合适的数据结构和高效的算法即可做到。二叉树是一种非线性数据结构，即每一个元素都可能有0个，1个，或2个后继结点；这使得二叉树编程比线性表编程增加了一些难度；另一方面，由于二叉树具有天然的递归特性，要掌握二叉树编程技术，须懂得如何用递归来思考问题以及熟练掌握递归程序的编写，这对初学者来说，无疑是一道必须跨越的门槛。

 

        二、递归技术概述

        递归技术并不神秘。从方法层面上看，递归技术通过使用相同的方法求解比原问题规模更小的子问题，并合并子问题的解而实现；递归与分治是紧密关联的；从技术手段上看，递归通过相同的函数调用来实现。即有P(n)= P(P(i),P(j), …, P(s),G(1))。

       要写出递归程序，其实也并不困难，有三点技巧：A.分析和找出递归的部分； B.确定递归调用的参数形式； C.确定递归结束条件。掌握这些技巧，甚至不用对递归机制作过多了解，就能写出优雅的递归代码。在后面的示例中，会逐渐给出一些相关的方法和技巧。

 

        三、二叉树的递归求解技术

二叉树的递归求解通常可以归纳为以下步骤：

S1： 对根结点求解；

S2： 递归求解左子树；

S3： 递归求解右子树；

S4 : 合并根结点、左子树、右子树的解，进而得到原问题的解。

          聪明的读者马上意识到，上述步骤与二叉树的先序遍历非常类似。针对具体的问题，S1,S2, S3 的顺序可能有所变化。

 

A.  分析和找出递归的部分：

          很显然，二叉树根结点的左子树和右子树都是一棵二叉树，因此，可以用相同的策略求解左右子树；这就是可以递归的部分；

B.   确定递归调用的参数形式：

          这一点也比较明显，即将二叉树的根结点作为调用参数。根据问题需要，可能会增加一些其它的参数，用于标示当前遍历的深度，要返回的列表等。

C.  确定递归条件。通常，根据应用将根结点需要满足的条件作为递归结束条件。

          这里有一个小技巧：你可以先对A/A(B,)/A(,B)/A(B,C)这几种基本的二叉树结构进行分析，以掌握递归程序的行为和机制。

 

四、示例

（1）二叉树的先序、中序、后序递归遍历。这个是最基本的，请读者自行查阅相关书籍弄懂；

（2）求二叉树的总结点数目。

         A.  分析和找出递归的部分：很显然，二叉树的总结点数目 =1 + 左子树的总结点数目 +右子树的总结点数目。 1表示根结点。

         B.  递归调用的参数： 二叉树的根结点。

         C.  递归结束条件： 根结点为空。 

 

现在，就可以开始写递归程序了。先写递归结束时的情况，再写继续递归的情况。熟练掌握递归程序的编写不是一蹴而就的，多练习就习惯了。 

Publicint size(TreeNode root) {
　　if(root == null) { return 0; }
　　else　{
　　　　　return1 + size(root.getLChild()) + size(root.getRChild()) ;
　　}
}

 

(3)将二叉树所有结点的左右子树交换

          初看起来，像是很困难；然而运用递归的思维，很容易就能想到：如果根结点不为空，则交换根结点的左右子树；递归求解左子树；递归求解右子树。于是，可以写出递归程序：

publicvoid swapTree(TreeNode root)

{

if(root != null) {

TreeNodetmp = root.getLChild();

root.setLChild(root.getRChild());

root.setRChild(tmp);

swapTree(root.getLChild());

swapTree(root.getRChild());

}

}

 

(4) 求二叉树的最长路径（如果有多条，输出其中一条）

          这个问题咋看起来，没发现明显可以递归的地方。这时，就需要仔细地分析。首先，二叉树的最长路径必定包括非空根结点；其次，最长路径必定在叶子结点处到达；那么，二叉树的最长路径与其左右子树的最长路径有什么关联呢？可以很容易想到：二叉树的最长路径 =非空根结点 +Max(左子树的最长路径,右子树的最长路径)。这样，就可以整理出思路：

LongestPath(root):
if(root != null) { // 若根结点不为空，则保存在最长路径中
　　　longestPath.add(root);
　　　if(root.getLChild() == null && root.getRChild() == null) {
　　　　　　//到达叶子结点，可以输出路径
　　　　　　return path;
　　　}
　　　else {
　　　　　　//递归求解左子树最长路径
　　　　　　leftLongestPath= LongestPath(root.getLChild());
　　　　　　//递归求解右子树最长路径
　　　　　　rightLongestPath= LongestPath(root.getRChild());
　　　　　　if(leftLongestPath.size() >= rightLongestPath.size()) {
      　　　　　// 左子树最长路径大于或等于右子树最长路径，则取左子树最长路径
　　　　　　　　　path.addAll(leftLongestPath);
　　　　　　}
          else{
               // 否则，取右子树最长路径
               path.addAll(rightLongestPath);
          } 
     }
}

       

        由于二叉树的递归求解通常非常简洁，且运行效率也在可接受范围内，因此，有人甚至建议：二叉树的问题求解，首选递归技术。本文从方法层面上讨论了如何编写二叉树的递归程序，这些方法和技巧使得，即使对递归的机制不甚了解，也可以写出非常优雅的递归代码。