POJ 1061 扩张欧几里得问题

题目大意：

　　有两只青蛙A和B，住在同一纬线上。它们分别从坐标x和y出出发。青蛙A每次能跳跃m米，青蛙B每次能跳跃n米，A和B每次都在同一之间跳跃。设地球的纬线长度为L。

　　问A和B是否能够相遇（在同一时间到达同一坐标），如果能够相遇，那么需要跳跃多少次？

 

解题思路：

　　利用欧几里得扩展式子。

　　我们这道题最后是要求x + k*m = y + k*n + pL。其中k、p为整数，需要确定。

　　将上面的等式进行简单的变换，可得 

　　(x-y) = k(n-m) + pL

　　设a=n-m，b = L，c=x-y，则上面的等式变为:

　　a*k + b*p = c

　　在介绍上面等式的解法之前，我们先介绍利用欧几里得的方法求解最大公约数。

　　在我们求解最大公约数的时候，我们用到了欧几里得方法，主要是以下的递归式：

　　gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。

　　参考《算法导论》上数论的那一章，我们现在对其进行证明。

　　要证明gcd(a, b) = gcd(b, a%b)。只需要证明gcd(a, b) | gcd(b, a%b) && gcd(b, a%b)|gcd(a, b)。

 

　　a%b可以用a,b线性表示。a % b = a - floor(a/b)*b。floor()表示向下取整。

　　设d = gcd(a, b)，因为a%b是a和b的线性组合，所以可得d|(a%b)。

　　又因为d|b。所以可得d|gcd(b, a%b)。即gcd(a, b) | gcd(b, a%b)。

　　证明gcd(b, a%b)|gcd(a, b)的过程与上面的类似，这里就不在叙述了。

　　有了上面的递推式，求解最大公约数的程序可以如下这样写：

int gcd(int a, int b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

　　

　　为了求解上面的式子：a*k + b*p = c，我们先求解如下的式子

　　a*k + b*p = d，其中d = gcd(a, b)。

　　考虑下面的式子：

　　d = a*k + b*p = b*k` + (a%b)*p`

　　又因为a%b =  a - floor(a/b)*b

　　所以，d = b*k` + (a - floor(a/b)*b)*p` = a*p` + b*(k` - floor(a/b)*p`) = a*k + b*p。

　　所以可得 k = p`; p = k`-floor(a/b)&p`。

　　

　　于是扩展的欧几里得代码可以写成如下：　

int extendedEuclid(int a, int b, int &k, int &p)
{
    if (b == 0) {
        k = a;
        y = 1;
        return;
    }

    extendedEuclid(b, a%b, k, p);
    int temp = k;
    k = p;
    p = (temp - a/b)*p;
}

　　在求出a*k + b*p = d的解k后，在等式两边同时乘以c/d。得到 k = k*c/d, 即得到a*k + b*p = c的一个解。

　　然后再计算k = (k%b + b)%b。即得到原问题的一个解。

　　最后AC的代码如下（需要注意的是这道题的数的范围可能会超出整数，因此要使用long long类型）：

　　Memory: 132KTime: 0MS

　　Language: C++Result: Accepted

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <memory.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <stack>
using namespace std;

typedef long long LL;


int gcd(LL a, LL b)
{
    if (b == 0)
        return a;
    else
        return gcd(b, a%b);
}

void extendedEuclid(LL a, LL b, LL &x, LL &y)
{
    if (b == 0) {
        x = a;
        y = 1;
        return;
    }

    extendedEuclid(b, a%b, x, y);
    LL temp = x;
    x = y;
    y = temp - (a/b)*y;
}

int main(int argc, const char *argv[])
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);

    LL x, y, m, n, L;
    LL a, b, c;
    LL k , j, d;

    scanf("%lld %lld %lld %lld %lld", &x, &y, &m, &n, &L);

    // a*k + b * j = d
    a = n - m;
    b = L;
    c = x - y;
    if (a < 0) {
        a = -a;
        c = -c;
    }

    int r = gcd(a, b);
    if (c % r != 0) {
        printf("Impossible\n");
    }
    else {
        a = a / r;
        b = b / r;
        c = c / r;
        extendedEuclid(a, b, k, j);
        k = ((k*c)%b + b)%b;
        printf("%lld\n", k);
    }

    return 0;
}

POJ上与此题类似的题目还有POJ2115 和 POJ2142，有兴趣可以一起刷了.