DP问题之数塔问题

问题描述：考虑下面的数字金字塔，写一个程序来计算从最高点开始，在底部任意处结束经过的数字和最大，每一步可以走到左下和右下的点。

  7

3   8

    8   1   0

  2   7   4   4

4   5   2   6   5

变形后：

7

3   8

8   1   0

2   7   4   4

4   5   2   6   5

问题分析：可以先对金字塔进行变形，如上。对于数字金字塔可以用（i, j）来表示数字在金字塔中的位置。

对于金字塔中间的一点，想要经过它，则必须经过它的左上或上面的点（变形后）。因此要使经过该点的和最大，则是在经过左上和右上的点中较大的“最大和”，

然后加上该点的值。这样，状态很明显是金字塔的层。

设计一个二维状态opt[i, j]表示到第 i 行 第 j 列的最大和，那么决策就是opt[i-1, j-1]和opt[i-1, j]中较大值在加上(i, j)处的值。

状态转移方程为：

opt[i, j] = opt[i-1, j] + a[i, j]　　j=1 //左边缘

opt[i, j] = opt[i-1, j-1] + a[i, j]   j=i //右边缘

opt[i, j] = max{opt[i-1, j-1], opt[i-1, j]} + a[i, j];  1<j<i

最后的答案：ans = max{opt[n, i]}  1 <= i <= n;

还有一点就是：其实从上往下和从下往上走是一样的，从下往上走时，可以省下求最大值的步骤，最终结果就是opt[1,1]，状态方程为:

opt[i, j] = max{opt[i+1, j], opt[i+1, j+1]} + a[i, j] ;

测试代码：

#include <stdio.h> 
#include <stdlib.h> 

int main()
{
    int a[5][5] = {
        {7, 0, 0, 0, 0},
        {3, 8, 0, 0, 0},
        {8, 1, 0, 0, 0},
        {2, 7, 4, 4, 0},
        {4, 5, 2, 6, 5}
    };
    int opt[5][5];
    int i,  j;
    
    for(i=0; i<5; i++)
        opt[4][i] = a[4][i];//初始化最后一行 
    
    for(i=3; i>=0; i--)
        for(j=0; j<=i; j++)
            if(opt[i+1][j]>opt[i+1][j+1])
                opt[i][j] = opt[i+1][j] + a[i][j];
            else
                opt[i][j] = opt[i+1][j+1] + a[i][j];
    
    printf("max:%d\n", opt[0][0]);
    return0;
}