【学习笔记】线性代数#3

发现马上要期中考试了，但是旷了一堆课，于是打算过一遍概念，写篇读书笔记供自己查阅

第三章 线性方程组

对线性方程组

\[\begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2\cdots+a_{1n}=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2\cdots+a_{2n}=b_2\\ \cdots\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2\cdots+a_{nn}=b_n\\ \end{cases} \]

令\(A=[a_{ij}]_{m\times n},X=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T,b=[b_1,b_2,\cdots,b_n]^T\)，则\(AX=b\)

\(\bar A=[A,b]\)称为方程组的增广矩阵。

\(b=0\)时称为齐次线性方程组

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3.1 消元法

将增广矩阵做行变换变为标准型即可

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3.2 线性方程组的一般理论

相容：线性方程组有解

3.2.1 非线性方程组解的研究

定理 3.1

线性方程组相容的充要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等

3.2.2 线性方程组解的研究

定理 3.2

对齐次线性方程组

\[AX=0 \]

有\(r_A=r_\bar A\)显然成立，故其必然有解。事实上，\(X=0\)是其一个解

齐次线性方程组只有零解的充要条件是\(r_A\)等于未知数的个数，而存在非零解的充要条件是\(r_A\)小于未知数的个数（线性相关）

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3.3 \(n\)元向量的线性关系

3.3.1 线性组合与等价向量组

定义 3.1

\(n\)个数组成的有序数\([a_1,a_2\cdots a_n]\)称为\(n\)元向量，其中\(a_i\)称为这\(n\)元向量的第\(i\)个分量，常用\(\alpha\)或\(\beta\)表示

\[a=\begin{bmatrix} a_1\\a_2\\\cdots\\a_n \end{bmatrix} a=[a_1,a_2,\cdots,a_n] \]

分别称为列向量和行向量。

定义 3.2

向量的加&乘

定义 3.3

设一组向量\(\beta,\alpha_1,\cdots,\alpha_m\)，若存在一组数\(k_1,\cdots,k_m\)使得

\[\beta=\sum_{i=1}^mk_i\alpha_i \]

则称向量\(\beta\)是向量组\(\alpha_1,\alpha_2\cdots\alpha_n\)的线性组合，或称\(\beta\)可经向量组\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)线性表示。

记\(e_i\)为单位向量组，则\(\alpha=\sum\limits_{i=1}^na_ie_i\)

同时有

\[\beta=[\alpha_1,\cdots,\alpha_n]\begin{bmatrix}k_1\\\cdots\\k_n\end{bmatrix} \]

考虑\(\beta\)是否可以被\(\alpha_1,\cdots,\alpha_n\)线性表示，即考虑线性方程组\(AX=\beta\)是否有解，其中

\[A=[\alpha_1,\cdots,\alpha_n] \]

于是该命题有两个等价命题：

1. 线性方程组 \(AX=\beta\) 相容
2. \([\alpha_1,\cdots,\alpha_n,\beta]\)与\([\alpha_1,\cdots,\alpha_n]\)的秩相等

定义 3.4

若向量组\(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\)中每一个向量都可以被向量组\(\beta_1,\cdots,\beta_s\)线性表示，则称前一个向量组可被后一个向量组线性表示。

若两个向量组可以互相线性表示，则称两个向量组等价。

不难发现等价具有反身性，对称性，传递性

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3.3.2 线性相关与线性无关

定义 3.5

对向量组\(\alpha_1,\cdots,\alpha_s(s\ge 1)\)，若存在不全为\(0\)的数\(k_1,k_2\cdots ,k_s\)使得

\[\sum_{i=1}^nk_ia_i=0 \]

称向量组线性相关。

相反地，若当且仅当\(\forall i,k_i=0\)时上柿成立，则称向量组线性无关

特别地，若\(s=1\)，认为向量组线性相关当且仅当\(\alpha_1=0\)

容易发现以下结论：

1. 任意一个包含零向量的向量组必线性相关
2. 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。
3. 如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组必然线性无关。

定义 3.4

若向量组\(\alpha_1,\cdots,\alpha_r\)中每一个向量都可以被向量组\(\beta_1,\cdots,\beta_s\)线性表示，则称前一个向量组可被后一个向量组线性表示。

若两个向量组可以互相线性表示，则称两个向量组等价。

不难发现等价具有反身性，对称性，传递性

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3.3.2 线性相关与线性无关

定义 3.5

对向量组\(\alpha_1,\cdots,\alpha_s(s\ge 1)\)，若存在不全为\(0\)的数\(k_1,k_2\cdots ,k_s\)使得

\[\sum_{i=1}^nk_ia_i=0 \]

称向量组线性相关。

相反地，若当且仅当\(\forall i,k_i=0\)时上柿成立，则称向量组线性无关

特别地，若\(s=1\)，认为向量组线性相关当且仅当\(\alpha_1=0\)

容易发现以下结论：

1. 任意一个包含零向量的向量组必线性相关
2. 如果一个向量组中有一部分向量线性相关，则整个向量组线性相关。
3. 如果一个向量组线性无关，则它的任何一个部分向量组必然线性无关。

定理 3.3

略，大意是用\(AX=0\)是否有非零解判断是否线性相关

特别地，\(s=n\)时，\(n\)元向量组线性无关的充要条件是\(|A|\neq 0\)

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3.3.3 几个重要定理

定理3.4

向量组\(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_s(s\ge 2)\)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合

定理 3.5

设\(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_s\)线性无关，且\(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_s,\alpha\)线性相关，则\(\alpha\)必然可以被\(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_s\)线性表示，且线性表示式唯一

定理 3.6

设向量组\(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_r\)可以被\(\beta_1,\beta_2\cdots,\beta_s\)线性表示，且\(r>s\)，则\(\alpha_1,\alpha_2\cdots,\alpha_r\)线性相关