数据结构和算法——绪论

1、数据结构与算法绪论

什么是数据结构？
　　程序设计=数据结构+算法
　   数据结构就是关系，即数据元素相互之间存在的一种或多种特定关系的集合。

数据结构分为逻辑结构和物理结构。
　　 逻辑机构：数据对象中数据元素之间的相互关系
　　 物理结构：数据的逻辑结构在计算机中的存储形式。

四大逻辑结构：
1. 集合结构：结构中的数据元素同属于一个集合，没有其他关系。
2. 线性结构：结构中的数据元素之间是一对一的关系。
3. 树形结构：数据元素之间存在一对多的层次关系。（传销金字塔..）
4. 图形结构：数据元素之间多对多的关系。（人类之间的关系，各个个体之间都有关系）

物理结构：
研究如何将数据元素存储到计算机的存储器中。（内存的存储方式）
存储器：主要针对内存而言，像硬盘、软盘、光盘等外部存储器的数据组织通常用文件结构来描述。
数据组织的存储结构形式两种：顺序存储&链式存储
       顺序存储结构：把数据元素存放在地址连续的存储单元里，数据间的存储关系和物理关系一致。例如编程语言中的数组结构。
【结构中元素的顺序可能时常有变化，顺序存储结构就不适应了，需要链式存储结构】
      链式存储结构：把数据元素存储在任意的存储单元里，存储单元可连续也可不连续。这样的存储关系不能反映其逻辑关系，因此需要用一个指针存放（下一个）数据元素的地址，通过地址可以找到相应数据元素的位置。

 

2、谈谈算法

算法：对某一问题的解决方法的步骤的总结，计算机中表现为指令的有限序列，每条指令表示多个操作。
算法包括5个方面：输入，输出，有穷性，确定性，可行性。

输入：算法具有0个或多个输入
输出：算法至少有一个或多个输出
有穷性：算法在执行有限步骤后，自动结束而不会出现无限循环，并且在可接受的时间范围内完成
确定性：算法的每个步骤都具有确定的含义，不会出现二义性

可行性：算法每一步都必须可行，即每一步都能够通过执行有限次数完成

算法设计要求：
        正确性：

（1）无语法错误
（2）合法输入产生满足要求的输出
（3）不合法输入产生合乎规格的说明
（4）***难测试能够输出所要求的输出
可读性：便于他人和自己阅读并理解
时间效率高，存储量小

 

3、时间复杂度和空间复杂度

 如何度量算法的效率？
效率一般指算法的执行时间。那么如何度量算法的执行时间？
　　事后统计方法：【可以把算法跑若干次，用计时器计时】通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率高低。缺陷：必须依据算法，事先编制好测试程序，大量耗费时间精力。而且对测试环境的要求高，不同测试环境测出来的也不准。
　　事前分析估算方法：在计算机程序编写前，依据统计方法对算法进行估算。

经过总结分析，高级语言编写的程序的运行时间取决于以下因素：
1. 算法采用的策略、方案
2. 编译产生的代码质量【高级语言写的源代码通过编译器编译成二进制代码】
3. 问题的输入规模
4. 机器执行指令的速度
其中2和4分别取决于计算机软件、硬件，抛去这些，可见程序的运行时间依赖于算法的好坏和问题的输入规模。

分析一个算法的运行时间时，重要的是把基本操作的数量和输入模式关联起来。

函数的渐进增长：f(n)与g(n)，若存在N，使n>N时，f(n)恒大于g(n)，则称f(n)的增长渐进快于g(n)。
判断算法的效率时，函数中的常数和其他次要项科研忽略，更应该关注最高次项的阶数。

 

算法时间复杂度的定义：进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数，进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作T(n)=O(f(n))。它表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐进时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)为问题规模n的某个函数。
这样用大写O()来体现算法时间复杂度的记法，称之为大O记法。
一般情况下，随着输入规模n的增大，T(n)增长最慢的算法为最优算法。

分析时间复杂度：
　　用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
　　在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
　　 若最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。
最后得到的结果就是大O阶数。

阶数：
　　 常数阶O(1)
　　线性阶O(n)【非嵌套循环】
　　平方阶O(n²)【嵌套循环】，循环时间复杂度=循环体的复杂度×该循环的嵌套次数
　　 对数阶O(log(n))
　　　　eg. While (i<n)
　　　　　    　{ i=i*2}

耗费时间：O(1)<O(logn)<O(n)<O(nlogn)<O(n²)<O(n³)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)
最坏情况与平均情况：
　　 平均运行时间是期望的运行时间。
　　 最坏运行时间是一种保证，在应用中，这是一种最重要的需求，通常除非特别指定，运行时间都是指最坏运行时间。

算法的空间复杂度：
写代码时可以用空间来换取时间。【判断是否闰年的例子：设计算法与查表】
空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，计算公式：S(n)=O(f(n))，其中n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。