题解：AT_abc040_d [ABC040D] 道路の老朽化対策について

一道很经典的并查集离线题。

Solution

Idea

我们发现每一次都对于一个询问单独加边，时间复杂度肯定会爆炸。

于是我们思考：如何才能让加边的次数变少呢？

不难发现，我们的每一条边都有一个修建年份，并且修建在 $x$ 年的一定会被排斥 $y$ 年以前的使用，当且仅当 $y<x$ 时。

如果我们对于询问按照排斥年份从晚到早排序，把边按照修建时间从晚到早排序，则我们先加入的边一定不会被后面的询问排斥，因为显然越靠后的人所能接受的年份越早。

显然有一个要求：对于每一组询问只能添加修建年份更晚的边。如果我们按照排序，每一次更新，我们都只需在原有的基础上添加修建年份在 $w_{i-1}$ 与 $w_i$ 之间的边，就可以做到在不多不少的情况下恰好加 $n$ 次边。

注意因为排了序，所以要记录询问序号，然后最后统一输出。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005,M=200005;
int n,m;
struct node{
	int u,v,y;
	friend bool operator <(node _,node __){
		return _.y>__.y;
	}
}a[M];
struct ask{
	int x,y,id;
	friend bool operator <(ask _,ask __){
		return _.y>__.y;
	}
}e[N];
int fa[N],siz[N];
int findd(int now){
	if(fa[now]==now)return now;
	return fa[now]=findd(fa[now]);
}
void vnion(int u,int v){
	u=findd(u),v=findd(v);
	if(u==v)return;
	fa[u]=v;
	siz[v]+=siz[u];
}
int q,ans[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		fa[i]=i;
		siz[i]=1;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++){
		scanf("%d%d%d",&a[i].u,&a[i].v,&a[i].y);
	}
	sort(a+1,a+m+1);
	scanf("%d",&q);
	for(int i=1;i<=q;i++){
		scanf("%d%d",&e[i].x,&e[i].y);
		e[i].id=i;
	}
	sort(e+1,e+q+1);
	for(int i=1,j=1;i<=q;i++){
		while(j<=m&&a[j].y>e[i].y){
			vnion(a[j].u,a[j].v);
			j++;
		}
		ans[e[i].id]=siz[findd(e[i].x)];
	}
	for(int i=1;i<=q;i++)printf("%d\n",ans[i]);
	return 0;
}