CF1567B 题解

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思路

最小值为 $a$，说明从 $0$ 到 $a-1$ 一定必须选。

所以答案最小为 $a$。

设 $p_i$ 为从 $0$ 至 $i$ 所有的数的异或（即 $0 \operatorname{xor} 1 \operatorname{xor} 2 \operatorname{xor} ... \operatorname{xor} i$）。

若 $p_{a-1}=b$，则直接输出 $a$（$0 \operatorname{xor} 1 \operatorname{xor} 2 \operatorname{xor} ... \operatorname{xor} a-1$）。

否则，由于异或具有已知 $a \operatorname{xor} b=c$，则 $c \operatorname{xor} b=a$，$a \operatorname{xor} c=b$ 的性质，可以推算出最后一个需要添加到序列中的数 $k$，然后根据情况：

1. $k\neq a$，输出 $a+1$。

2. $k=a$，输出 $a+2$。（序列中不能有 $a$）

写出来之后，有些代码出现了 $\operatorname{UKE}$（实际上是 $\operatorname{TLE}$）的现象，原因是这些代码有这一行：

for(int i=1;i<a;i++)p^=i;

这一行的时间复杂度是 $\operatorname{O}(a)$，再加上前面 $t$ 次询问，则总时间复杂度是 $\operatorname{O}(at)$。

将 $1\leq t\leq5\times10^5,1\leq a\leq3\times10^5$ 代入，则总时间复杂度是 $\operatorname{O}(1.5\times10^{11})$，严重超时。

所以我们需要寻求更快的解法：

$a=1,p_1=1$

$a=2,p_2=3$

$a=3,p_3=0$

$a=4,p_4=4$

$a=5,p_5=1$

$a=6,p_6=7$

$a=7,p_7=0$

$a=8,p_8=8$

$\forall k(k\geq0)$，则

$a=4k+1,p_a=1$

$a=4k+2,p_a=a+1$

$a=4k+3,p_a=0$

$a=4k,p_a=a$

则求 $p_i$ 的函数显而易见：

long long y(int k){
	if(k%4==1)return 1;
	if(k%4==2)return k+1;
	if(k%4==3)return 0;
	if(k%4==0)return k;
}

依此写出代码，此题终。

#include<iostream>
using namespace std;
long long a,b,t,ans,p;
long long y(int k){
	if(k%4==1)return 1;
	if(k%4==2)return k+1;
	if(k%4==3)return 0;
	if(k%4==0)return k;
}
int main(){
	cin>>t;
	while(t--){
		cin>>a>>b;p=0;
		if(y(a-1)==b){
			cout<<a<<endl;
		}
		else{
			if((y(a-1)^b)!=a)cout<<a+1<<endl;
			else cout<<a+2<<endl;
		}
	}
	return 0;
}