题解：AT_abc356_e [ABC356E] Max/Min

思路

注意到数据范围：$a_i\le10^6$，加之整除，因此考虑调和级数。

先对 $a$ 排序。

我们可以在 $[1,10^6]$ 区间内枚举 $a_i$ 的值（注意是值）。当然也有一个小小的优化就是枚举到 $a_n$。

然后枚举整除的商。只需枚举到 $\lfloor\dfrac{a_n}{a_i}\rfloor$ 即可。

一个十分显然的推论是：若 $\lfloor\dfrac{a_j}{a_i}\rfloor=m$，则 $m\times a_i\le a_j<(m+1)\times a_i$。这一部分可以使用前缀和 $sum$ 数组来做。

然后对于每一个值可能对应多个 $a_i$，因此还要开一个另外的数组 $tot$ 记录 $a$ 序列中每个值对应几个数。

那么设枚举到了值 $i$，$k$ 为我们枚举的商，那么每一次枚举答案应加上 $k\times(sum_{(m+1)\times i-1}-sum_{m\times i-1})\times tot_i$。即商、对应的 $j$ 有多少个、$i$ 在 $a$ 序列中对应多少个数的积。

注意一个数会多次产生贡献，因此对于 $i$ 要减掉 $\dfrac{tot_i\times (tot_i+1)}{2}$ 。

代码

如果还不理解，看代码吧。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,ans;
long long a[200005],sum[1000005],tot[1000005];
int main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	for(int i=1,j=1;i<=1000000;i++){
		sum[i]=sum[i-1];//求前缀和
		while(a[j]==i){
			j++;
			sum[i]++;
			tot[i]++;//tot 代表在 a 数组中值为 i 的数量
		}
	}
	for(int i=1;i<=1000000;i++){
		for(int j=1;j<=a[n]/i;j++){
			ans+=j*(sum[(j+1)*i-1]-sum[j*i-1])*tot[i];//核心代码
		}
	}
	for(int i=1;i<=1000000;i++){
		ans-=tot[i]*(tot[i]+1)/2;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

复杂度分析

调和级数的复杂度是 $\operatorname{O}(n\ln n)$ 的。

具体可以试一试。

事实上，$\dfrac{x}{1}+\dfrac{x}{2}+\cdots+\dfrac{x}{x}=x(1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\cdots+\dfrac{1}{x})$ 趋近于 $x\ln x$。所以不用担心会超时。