题解：UVA11186 正多边形 Circum Triangle

题意简述

给你一个圆的半径 $r$ 和圆上的 $n$ 个点，然后任意选择三个点，会组成一个三角形。要输出所有符合要求的三角形面积之和。

思路

注意到是在圆上，因此任选三个点一定能组成三角形。

因为 $n\le 500$，所以考虑暴力枚举。

首先需要将极坐标转化为平面直角坐标，设极坐标下圆半径为 $r$，给定的角为 $\alpha$，平面直角坐标下横坐标为 $x$，纵坐标为 $y$。则：

• $x=r\cos\alpha$
• $y=r\sin\alpha$

这个其实蛮好证明的：

根据三角函数的定义，可得 $\cos\alpha=\dfrac{x}{r}$ 和 $\sin\alpha=\dfrac{y}{r}$ 两个式子。

移项即可得到上面的式子。

现在的问题在于如何快速计算任意三角形面积。

我们可以采用下面的方法：

1. $S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}ah$。

优点：只有乘法。

缺点：$a$ 和 $h$ 难求。

2. $S_{\triangle}=\dfrac{1}{2}ab\sin C$。

缺点：$\sin C$ 难求。

3. $S_{\triangle}=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$，其中 $p=\dfrac{a+b+c}{2}$。

优点：三边使用两点距离公式 $dis=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}$ 即可求。

缺点：因为要多次根号，所以常数特大，在 $n\le 500$ 时过不去。

4. 向量叉积法

向量积可以被定义为：

模长：$|\bold{a}\times \bold{b}|=|\bold{a}|\times |\bold{b}| \sin \alpha$（在这里 $\alpha$ 表示两向量之间的夹角（共起点的前提下），它位于这两个矢量所定义的平面上，$0\le \alpha\le \pi$。）

方向：$\bold{a}$ 与 $\bold{b}$ 的向量积的方向与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手定则。（一个简单的确定满足“右手定则”的结果向量的方向的方法是这样的：若坐标系是满足右手定则的，当右手的四指从 $\bold{a}$ 以不超过180度的转角转向 $\bold{b}$ 时，竖起的大拇指指向是 $\bold{c}$ 的方向。）（以上文段摘自百度百科）

观察法 $2$ 的公式，不难注意到上面叉积的模长就是三角形面积的两倍。

但是我们如何快速求出叉积的模长呢？

下面是向量叉积的行列式定义（三维空间）：

若 $\bold{a}=(u_1,u_2,u_3)$ 且 $\bold{b}=(v_1,v_2,v_3)$，则

$$\bold{a}\times \bold{b}=\left | \begin{matrix}\bold{i} &\bold{j} & \bold{k} \\u_1 &u_2 &u_3 \\v_1 &v_2 &v_3 \\\end{matrix} \right |$$

不难发现，因为这张图是二维空间，所以 $u_3$ 和 $v_3$ 都是 $0$。

三个向量 $\bold{i},\bold{j},\bold{k}$ 都是单位向量。

把它用行列式展开，得：

$$\begin{align}\bold{a}\times \bold{b }&=\left | \begin{matrix}u_2 &u_3 \\v_2 &v_3 \\\end{matrix} \right | i+\left | \begin{matrix}u_1 &u_3 \\v_1 &v_3 \\\end{matrix} \right | j+\left | \begin{matrix}u_1 &u_2 \\v_1 &v_2\\\end{matrix} \right | k \nonumber\\&=(u_2v_3-u_3v_2)i+(u_1v_3-u_3v_1)j+(u_1v_2-u_2v_1)k\end{align}$$

显然 $u_3$ 和 $v_3$ 是 $0$，所以前两项就不用管了。

$\bold{k}$ 是单位向量，所以它的模长是 $1$。

所以 $|\bold{u}\times \bold{v}|=(u_1v_2-u_2v_1)$。

这样我们就能快速求了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const double pi=acos(-1);
int n;
double r;
struct node{
	double x,y;
}a[505];
node operator -(node a,node b) {
	return (node){a.x-b.x,a.y-b.y};
}
const double eps=0.00000001;
//double X(double a,double b,double c,double d){
//	return a*d-b*c;
//}
//double S(node x,node y,node z){
//	return fabs(X(y.x-x.x,y.y-x.y,z.x-x.x,z.y-x.y));
//}
double Xx(node xx,node yy){
	return xx.x*yy.y-xx.y*yy.x;
}
double Sx(node xx,node yy,node zz){
	return fabs(Xx(yy-xx,zz-xx));
}
int main(){
	while(1){
		cin>>n>>r;
		if(n==0&&abs(r)<=eps)break;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			double q;
			cin>>q;
			q=q*1.0/180*pi;
			a[i].x=cos(q)*r;
			a[i].y=sin(q)*r;
		}
		double ans=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				for(int k=j+1;k<=n;k++){
					ans+=Sx(a[i],a[j],a[k]);
				}
			}
		}
		printf("%.0lf\n",ans/2);
	}
	return 0;
}