题解：P10499 开关问题

前置芝士：高斯消元、异或。

思路

不难发现灯的开关状态与异或有关。设 $0$ 为灯灭，$1$ 为灯开，注意到 $0\oplus1=1$，$1\oplus 1=0$。所以灯的新状态等于原状态异或 $1$ 的值。

然后我们可以把灯的状态转化成异或方程组来做。

首先我们要知道什么可以控制一盏灯。能控制它的除了题目中给定的，还有它自己。

很显然每个开关最多被打开一次，设开关是否被打开为 $x_i$，若 $x_i=0$，则没有被打开，反之如果被打开，$x_i=1$。

然后就是这个题中最关键的方程了：

$$(\operatorname{con}(1,i)x_1)\oplus(\operatorname{con}(2,i)x_2)\oplus\cdots (\operatorname{con}(n,i)x_n)=\operatorname{zhuan}(i)$$

其中 $i\in[1,n]$，$\operatorname{con}(i,j)$ 表示 $i$ 是否可以控制 $j$，可以为 $1$，反之为 $0$，$\operatorname{zhuan}(i)$ 表示开始和结束 $i$ 的状态是否被改变，是为 $1$，反之为 $0$。

它的意思是：如果能控制第 $i$ 盏灯的开关被打开了，它的状态就被改变，由前文可得是异或。

因为 $0\oplus x=x$，所以这个方程一定正确。

对于每一个 $i$ 列出来方程，然后高斯消元即可。

这个高斯消元还不大一样。因为正常的高斯消元是求和，但是这个是异或，因此我们需要单独写，具体可以看代码。

主要的不同是：

• 不用取模。
• 原有的加减法运算全部改为异或。

如何计算答案？

如果在一个方程中出现了 $0\oplus 0 \oplus\cdots\oplus\ 0=x$ 的情况：

• 如果 $x=0$，说明这个方程没有约束，多一个自由元，自由元可以取 $0$ 或 $1$，于是答案乘 $2$。
• 反之，等式不成立，无解。

答案显然初始为 $1$。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int s[29],e[29],a[29][30],b[29];
int T,n;
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		cin>>n;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			for(int j=1;j<=n;j++)a[i][j]=0;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)cin>>s[i];
		for(int i=1;i<=n;i++)cin>>e[i];
		for(int i=1;i<=n;i++)a[i][n+1]=s[i] xor e[i];
		while(1){
			int x,y;
			cin>>x>>y;
			if(x==0&&y==0)break;
			a[y][x]=1;
		}
		for(int i=1;i<=n;i++)a[i][i]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int t=i;
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(a[j][i]>a[t][i])t=j;
			}
			swap(a[t],a[i]);
			if(a[i][i]==0)continue;
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				int x=a[j][i];
				for(int k=i;k<=n+1;k++){
					a[j][k]^=(a[i][k]*x);
				}
			}
		}
		bool flag=0;
		int ans=1;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int pos=0;
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(a[i][j]){
					pos=j;
					break;
				}
			}
			if(pos==0)continue;
			for(int j=i+1;j<=n;j++){
				if(a[j][pos]){
					for(int k=pos;k<=n+1;k++){
						a[j][k]^=a[i][k];
					}
				}
			}
		}
		for(int i=1;i<=n;i++){
			int sum=0;
			for(int j=1;j<=n;j++){
				if(a[i][j]!=0)sum++;
			}
			if(sum==0){
				if(a[i][n+1]==0)ans*=2;
				else flag=1;
			}
		}
		if(flag)cout<<"-1"<<endl;
		else cout<<ans<<endl;
	}
	return 0;
}