题解：SP11469 SUBSET - Balanced Cow Subsets

双倍经验：P3067。

题意简述

给定长度为 $n$ 的一个序列 $a$，对于每一个数 $a_i$，可以把它加入 $A$ 和 $B$ 两个集合之一或者不加入任何一个集合，要求所有数处理完后，$A$ 与 $B$ 两个集合中数的和相等，求方案数。

$n\le20$ 且 $a_i\le 10^8$。

思路

对于一个数 $a_i$，在最后有三种状态：

• 它在 $A$ 集合。
• 它在 $B$ 集合。
• 它不在任何一个集合中。

所以如果我们暴搜复杂度是 $\operatorname{O}(3^n)$ 的。而 $3^{20}=3486784401$，因此暴搜自然过不去。

我们只好使用折半搜索将时间复杂度降到 $\operatorname{O}(3^{\frac{n}{2}})$。

如何折半搜索？

首先我们将序列分成 $[1,\dfrac{n}{2}]$ 和 $[\dfrac{n}{2}+1,n]$ 两部分，分别搜索。

我们首先证明一个等式：设 $[1,\dfrac{n}{2}]$ 区间内 $A$ 集合的数的和为 $p_1$，$B$ 集合的和为 $q_1$。同理 $[\dfrac{n}{2}+1,n]$ 区间内 $A$ 集合的数的和为 $p_2$，$B$ 集合的和为 $q_2$。

则 $q_1-p_1=p_2-q_2$。

证明：由题意可得 $p_1+p_2=q_1+q_2$，移项可得上面的式子。

对于 $[1,\dfrac{n}{2}]$ 的部分，我们先暴力搜索，然后当搜索完成后，记录 $q_1-p_1$ 的值。

对于 $[\dfrac{n}{2}+1,n]$ 的部分，我们也是先暴力搜索，同时记录 $p_2-q_2$。在搜索完成后进行匹配，得到答案。

写出代码：

map<long long,int>mp; 
void dfs1(int now,long long sum){
	if(now==n/2+1){
		mp[sum]++;
		return; 
	}
	dfs1(now+1,sum);
	dfs1(now+1,sum+a[now]);
	dfs1(now+1,sum-a[now]);
}
long long ans;
void dfs2(int now,long long sum){
	if(now==n+1){
		if(sum!=0)ans+=mp[sum];//0不能统计
		return;
	}
	dfs2(now+1,sum);
	dfs2(now+1,sum-a[now]);
	dfs2(now+1,sum+a[now]);
}

但是这个代码是错误的。

对于序列 $a=\{1,2,1,2\}$ 而言：

我们将 $a_1$ 和 $a_4$ 放入 $A$ 集合，其余的放入 $B$ 集合和 $a_2$ 和 $a_3$ 放入 $A$ 集合中是一种方案，因为我们都是选择了相同的 $4$ 个数。

显然这个代码会重复统计。

所以我们要用一个二进制数，存储每个点是否被选。$1$ 代表选了。然后按照二进制位把它压成一个十进制数。如果统计答案是这个状态已经算过了，就不算了。

AC Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[25];
map<int,vector<int> >mp; 
void dfs1(int now,long long sum,int S){
	if(now==n/2+1){
		mp[sum].push_back(S);
		return; 
	}
	dfs1(now+1,sum,S);
	dfs1(now+1,sum+a[now],S|(1<<(now-1)));
	dfs1(now+1,sum-a[now],S|(1<<(now-1)));
}
long long ans;
bool b[1048577];
void dfs2(int now,long long sum,int S){
	if(now==n+1){
		if(mp.count(sum)){
			for(int S2:mp[sum]){
				if(b[S+S2]==0)ans++;
				b[S+S2]=1;
//				printf("%d\n",S+S2);
			}
		}
		return;
	}
	dfs2(now+1,sum,S);
	dfs2(now+1,sum-a[now],S|(1<<(now-1)));
	dfs2(now+1,sum+a[now],S|(1<<(now-1)));
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	dfs1(1,0,0);
	dfs2(n/2+1,0,0);
	printf("%d",(ans-1));
	
	return 0;
}