题解：P10921 Happybob's Puzzle (UBC001A)

又是一道欧拉路。

思路

在一个树上，两点 $(u,v)$ 之间的距离是 $dep_u+dep_v-2\times dep_{\operatorname{lca}(u,v)}$（其中 $dep$ 指深度，$\operatorname{lca}(u,v)$ 指 $u$ 和 $v$ 的最近公共祖先）。

因为这个题只讨论奇偶性，所以求了 lca 也无用。只需要求出深度即可。

然后就会发现：一个奇数深度的要和偶数度数的在一起；一个偶数深度的要和奇数深度的在一起。

考虑图论建模：奇数深度说明后面要接偶数，就是奇数向偶数连边；偶数后面要接奇数，就是偶数向奇数连边。

然后检验这张只由奇偶两个点组成的图中存不存在欧拉路就行。判定方法：设奇数深度点数为 $x$，偶数深度点数为 $y$，要求 $|x-y|\le 1$。

然后就是输出了。我们记录下奇数深度和偶数深度的点并按字典序排序。

• 如果 $x-y=0$，则我们比较字典序最小的奇数深度的和偶数深度点，看哪个更小。如果奇数的更小，我们按照奇数至偶数至奇数至偶数的顺序输出；反之是偶数到奇数到偶数。
• 如果 $x-y=1$，则必须以奇数开始，按字典序循环输出即可。
• 如果 $x-y=-1$，与上面的情况类似。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,n;
struct edge{
	int u,v,nxt;
}e[200005];
int cnt,head[100005],dep[100005],ou[100005],ji[100005],du,cnt1,cnt2;
void add(int u,int v){
	e[++cnt].u=u;
	e[cnt].v=v;
	e[cnt].nxt=head[u];
	head[u]=cnt;
}
void dfs(int now,int fa,int d){
	dep[now]=d;
	for(int i=head[now];i;i=e[i].nxt){
		if(e[i].v==fa)continue;
		dfs(e[i].v,now,d+1);
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d",&n);
		memset(head,0,sizeof(head));
		cnt=0;
		memset(e,0,sizeof(e));
		memset(ji,0,sizeof(ji));
		cnt1=0;
		cnt2=0;
		memset(ou,0,sizeof(ou));
		memset(dep,0,sizeof(dep));
		for(int i=1,u,v;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&u,&v);
			add(u,v);
			add(v,u);
		}
		dfs(1,1,1);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(dep[i]&1){
				ji[++cnt1]=i;
			}
			else{
				ou[++cnt2]=i;
			}
		}
		if(cnt1-cnt2>1||cnt1-cnt2<-1){
			printf("-1\n");
			continue;
		}
		sort(ji+1,ji+cnt1+1);
		sort(ou+1,ou+cnt2+1);
		if(cnt1==cnt2){
			if(ji[1]<ou[1]){
				for(int i=1,j=1;i<=cnt1;i++,j++){
					printf("%d %d ",ji[i],ou[j]);
				}
			}
			else{
				for(int i=1,j=1;i<=cnt1;i++,j++){
					printf("%d %d ",ou[j],ji[i]);
				}
			}
		}
		else{
			if(cnt1==cnt2+1){
				printf("%d ",ji[1]);
				for(int i=2,j=1;i<=cnt1;i++,j++){
					printf("%d %d ",ou[j],ji[i]);
				}
			}
			else{
				printf("%d ",ou[1]);
				for(int i=2,j=1;i<=cnt2;i++,j++){
					printf("%d %d ",ji[j],ou[i]);
				}
			}
		}
			printf("\n");
	}
	return 0;
}