题解：P4925 [1007] Scarlet的字符串不可能这么可爱

Solution P4925

Idea

先考虑没有限制。

这里我们用一种颜色代表一种字符。

第三个字符应该填什么？显然不能是红或者是蓝。有剩余 $k-2$ 种选择。

接下来第四个肯定不能填蓝或者绿，但是可以填红。

可能会有人问：如果填和前面相同的颜色不会出现更长的回文串吗？

不会。因为我们在上面已经保证了不会存在长度为 $2$ 或 $3$ 的回文串，所以更长的更不可能存在。

计算答案：第一个可以选 $k$ 种颜色，第二个可以选 $k-1$ 种，剩下 $l-2$ 个都是 $k-2$ 种，答案就是 $k(k-1)(k-2)^{l-2}$。

如果加上了限制呢？可以这么理解：

假如第 $i$ 个位置已经规定是红色，我们可以先往后填，填第 $i+1$ 个位置，显然有 $k-1$ 种方案，再往后填就不难发现等价于没有限制的情况。这一部分的答案数是 $(k-1)(k-2)^{l-i-1}$。

然后往前填。

不难发现，第 $i-1$ 个位置填颜色的时候，因为第 $i$ 个和第 $i+1$ 个都已经填好了，所以它只有 $k-2$ 种填法。第 $i-2$ 个位置填颜色的时候，因为第 $i-1$ 个和第 $i$ 个都已经填好了，所以它也只有 $k-2$ 种填法。以此类推，当第 $j$ 个位置填色的时候，因为第 $j+1$ 个和第 $j+2$ 个都已经填好了，所以它只有 $k-2$ 种填法。由乘法原理，这一部分的答案是 $(k-2)^{i-1}$ 种。

两个答案相乘，得答案为 $(k-1)(k-2)^{l-2}$。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int l,k,s,mod;
long long ans;
long long qpow(long long a,long long b){
	long long res=1;
	while(b){
		if(b&1)res=res*a%mod;
		a=a*a%mod;
		b>>=1;
	}
	return res;
}
int m,n;
signed main(){
	scanf("%lld%lld%lld%lld",&k,&l,&mod,&s);
	k%=mod;
	m=((k-1)%mod+mod)%mod;
	n=((k-2)%mod+mod)%mod;
	if(s)printf("%lld",1ll*m*qpow(n,l-2)%mod);
	else printf("%lld",1ll*(k*m%mod)*(qpow(n,l-2)%mod)%mod);
	return 0;
}

Tip

1. 题目输入是 $5$ 个数，为什么只输入了 $4$ 个？

我们发现各个字符之间是等价的，所以是第几种并没有必要知道，$w$ 也就可有可无了。

输入 $4$ 个是评测的特性：如果实际程序输入数比给定输入数少，会优先选择靠前的输入。变式一下，如果 $w$ 在 $s$ 之前输入，便不能省略了。也就是虽然输入文件中给定了 $w$，但是我们没有选择要它。

2. 为什么 #define int long long 和 signed main？

这道题不用这句话会获得 $50$ 分。这句话的作用是把所有 int 型变量定义成 long long 型，防止爆 int。

但是这句话也有副作用。int main() 不能定义成 long long main()。并且有些时候程序会因此 MLE 或 WA 等。所以不到万不得已不要用这个。

3. 为什么有 m=((k-1)%mod+mod)%mod; 和 n=((k-2)%mod+mod)%mod;？

C++ 中，负数取模是负数。如果这题 $k$ 为 $0$，则 $k-1$ 就是负数，会出错，所以把它单独拿出来。