题解：UVA12034 比赛名次 Race && 一般 dp 题的做题技巧

dp。

本篇题解将从 dp 的状态设计、转移设计、初值设计、答案统计和优化五方面进行说明，旨在讲明白这道题和复习 dp。

注意这道题的 dp 是一些个人理解的积累，如果与真正的定义不同还请见谅。

Solution UVA12034

状态设计

设 $dp_{i,j}$ 为前 $i$ 个人产生了 $j$ 个不同排名的方案数。

• 为什么这么设计？

设计一个 dp 的状态要从题目要求和转移方便性考虑。

如这道题，题目要求的是方案数，我们就设方案数。再如 P10954 LCIS 这道题，我们的状态设计就是与转移方便性有关。

一个好的 dp 状态可以做到方便地转移和统计答案。dp 状态的不同直接决定了程序时间复杂度的不同。

• 如何去设计？

正常情况下，题目要求什么我们就设什么。但是具体是几维 dp，这个就跟具体题目有关。我们可以观察数据范围，得到一个初步的方向。

转移方程

这道题的转移方程显然是 $dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\times j+dp_{i-1,j-1}\times j$。

我们剖析一下这个状态转移方程。

前半部分指的是这个新加进来的人和前面一个人并列，显然就在一个名次上，方案有 $j$ 种。

后半部分指的是这个新加进来的人不和前面任何一个人并列，$j-1$ 个名次，则有 $j$ 位置可以插入，因此方案有 $j$ 种。

一个好的 dp 状态设计可以使得 dp 转移方程浅显易懂，也可以降低 dp 转移的复杂度。

在我们设计好状态之后，我们往往要从实际问题出发，去考虑这一个状态可以由哪些状态转移而来。

初值设计

这题的初值就是 $dp_{0,0}=1$。

初值的设计十分重要。如果 dp 失去了初值的设计，就相当于一堆 $0$ 转移，这是没有意义的。

dp 的初值设计一般需要手推和感性理解。例如这题，$0$ 个人产生 $0$ 个排名，显然只有 $1$ 种方案。

答案统计

本题答案：$ans_i=\sum dp_{i,j}$，其中 $1\le j\le i$（虽然你开大一点好像也没事）。

答案统计就很简单了，你只需要看合法的状态有哪些就行。

优化

dp 的优化分时间上的优化和空间上的优化两种。

dp 复杂度

要学会 dp 优化，就要先学会 dp 复杂度的计算。

dp 复杂度分状态复杂度和转移复杂度两部分。

很显然：先要枚举这个状态，然后用一部分复杂度转移。

时间上的优化

时间上的优化主要有前缀和优化、线段树或树状数组优化、单调队列优化等等。

这些优化可以使 dp 转移的复杂度降一维或者变为一只 $\log$。

有些时候 dp 的优化是可以互通的，如 P1725 琪露诺，既可以单调队列优化 dp，也可以线段树优化 dp。

空间上的优化

空间一般就是滚动数组，这种在背包 dp 中也很常见。

本题也可以使用滚动数组优化，只不过这题空间明显不卡，所以没有大用处。

有时背包 dp，如果开二维数组 $5\times 10^7$ 个 int 显然会 MLE，但是滚动数组滚掉一维就不会了。

注意：滚动数组并不能减少状态复杂度。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1005,mod=10056;
int dp[N][N],sum[N];
void init(int n,int m){
    dp[0][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dp[i][j]=(dp[i-1][j]*j+dp[i-1][j-1]*j)%mod;
            sum[i]=(sum[i]+dp[i][j])%mod;
        }
    }
}
void solve(int id){
    int n;
    scanf("%d",&n);
    printf("Case %d: %d\n",id,sum[n]);
}
int main(){
    init(1000,1000);
    int T;
    scanf("%d",&T);
    for(int i=1;i<=T;i++)solve(i);
    return 0;
}

祝愿大家在 CSP 中取得理想的成绩。