NOIP2024集训Day44-45

$\text{反色刷}$#

欧拉回路。

有解：每个点连接的黑边数为偶数

答案个数：连通块数

如果一个连通块内有两条路径，则可以在起点之间走两次，则它们一定可以合并成一条。

$\text{骑士游戏}$#

看起来很有让人 dp 的冲动。

假设可以用 dp。

$f_u$ ：消灭 $u$ 的最小代价。

$$f_u=min\{f_u,s_u+\sum f_v(utov)\}$$

但是很容易发现这个 dp 有后效性，也不知道哪个点开始 。

那就把所有点扔进 SPFA 中跑。

$f_u$ 的初值是 $k_u$。

$\text{[GXOI/GZOI2019] 旅行者}$#

喵喵

不是，这种东西是那个天才想出来的。

二进制分组。

根据二进制下每一位的数分别将节点分成两组。

一组作为原点，一组作为终点。

可以发现两个点一定会在不同集合至少一次。

也就是说，答案的起点和终点一定会在不同集合至少一次。

取每次跑最短路的之就行了。

$\text{「联合省选 2020 B」丁香之路}$#

如果往 $i$ - $s$ 见虚边，原问题相当于找 $s$ 到 $i$ 的一条欧拉回路，满足经过所有 $m$ 条道路并且最短。

建出关键边和起点到终点的边，由于求欧拉回路，则必须满足全为偶点。

将奇点两两配对连边，由于边权是 $|i-j|$，那么如果要连边 $(u,v)$, 则连 $(u,u+1),(u+1,u+2)...(v-1,v)$ 一定最优，因为欧拉回路也要满足联通，这么连能够多连几个点。

还剩没联通的很多连通块，则在这些连通块中求最小生成树即可，可行边只在相邻的连通块之间，边数其实为 $n-1$。

对每个终点跑一边，复杂度为 $\mathcal{O}(n^2\log n)$。

$\text{Nastia Plays with a Tree}$#

发现切的顺序是没有影响的，到最后都是一堆链随便连。

考虑现在要切节点 $u$，节点 $u$ 父亲是 $f$，节点 $u$ 有 $cnt$ 个子节点

• $cnt=1$，此时什么都不用做。

• $cnt=2$，发现当切掉 $(u,f)$ 后，剩下的就是一条链了。

• $cnt>2$，先切 $(u,f)$，剩下再切 $cnt-2$ 刀。

为什么要切 $(u,f)$，发现一个节点的子节点一定越少越好，当子节点数目到一就不用切了，所以切 $(u,f)$ 减少 $f$ 的子节点个数。

$\text{Logical Operations on Tree}$#

用 or 边将整棵树分成很多连通块，发现最终点权为 $1$ 要满足这些连通块中有至少一个块的值为 $1$。

考虑求出满足所有连通块中有至少一个块的值为 $1$ 的方案数 ，正难则反，求所有连通块权全为 $0$ 的方案数。

考虑 dp，设 $f_{i,0/1}$：$i$ 子树中，$i$ 所在的连通块当前的值为 $0/1$ 的方案数。

$$f_{i,0}=f_{i,0}\ast f_{j,0}+f_{i,1}\ast f_{j,0}+f_{i,0}\ast f_{j,1},\{itoj\}$$

$$f_{i,1}=f_{i,1}\ast f_{j,1},\{itoj\}$$

答案为 $2^{2\ast n-1}-f_{1,0}$