斯坦纳树

给一张图，其中一些点称为关键点。

斯坦纳树的定义就是能覆盖关键点的连通子图，为什么叫连通子图，可以发现答案子图可以为一棵树，否则如果有环，可以删去环上任意一条边，新图也联通。

$\text{最小斯坦纳树}$#

$Link$

题意：给定一张带权无向图，其中有一些点是关键点，求连通子图的最小长度。

可以发现答案子图一定为一棵树，否则如果有环，可以删去环上任意一条边，新图也联通。

这是个 NP-hard 问题，可能没办法在多项式时间复杂度内（$\mathcal{O}({\mathcal{n}}^k)$ 或 $\mathcal{O}(\mathcal{nk})$）解决，考虑状压。

子图的状态肯定无法压进 dp，考虑将关键点的状态压进 dp。

由于答案是一棵树，可以设 $f_{i,S}$ 表示以 $i$ 为根，且关键点覆盖状态为 $S$ 的最小长度。

我们可以将以 $i$ 为根的树分成两类：$i$ 的度数为 $1$，$i$ 的度数大于 $1$。

分讨：

• $i$ 的度数为 $1$，则这个点的转移来自于他唯一的连边，我们就考虑通过 $i$的相邻点来转移，设这个点为 $j$，则

$$f_{i,S}=f_{j,S}+di{s}_{i,j}$$

• $i$ 的度数大于 $1$，则可以将这个图分成 $i$ 的若干个子树，就可以通过枚举子集转移：

$$f_{i,S}=min\{f_{i,T}+f_{i,S-T}\}$$

实现方面，对于第一种转移，可以想到最短路算法的松弛操作，将整张图松弛，先将整张图更新的点扔进队列，然后用第一种转移的转移式更新整张图的 $f$，通过最短路算法实现。

可以发现图是比较稀疏的，可以复活死去的 $SPFA$， 这个转移的时间复杂度卡满的话是 $\mathcal{O}(2^{k}nm)$，和枚举子集比起来你会惊奇发现这和枚举子集的时间复杂度差不多。

对于第二种转移，直接枚举子集，复杂度 $\mathcal{O}(3^{k}n)$

讲一下枚举子集的时间复杂度，之前一直不是很懂。

设集合大小为 $T$，则大小为 $0$ 的子集个数为 $C_n^0$，大小为 $1$ 的子集个数为 $C_n^1$...大小为 $n$ 的子集个数为 $C_n^n$。

枚举的总复杂度就是 $2^0\times C_n^0+2^1+C_n^1+...2^n+c_n^n=\sum _{k=0}^n{2}^k{C}_n^k=\sum _{k=0}^n{2}^k{1}^{n-k}{C}_n^k=(2+1{)}^n=3^n$。

最后 $ans=min\{f_{i,2^k-1}\}$。

游览计划#

可以发现这题很板，只是加了一个点权转边权和输出方案。

输出方案在每次转移时加一个 $pre$ 数组，然后 dfs。

点权转边权可以考虑将第二个转移改成

$$f_{i,S}=min\{f_{i,T}+f_{i,S-T}-va{l}_i\}$$

因为两边我们都算了一次 $i$ 节点，减了就行。