浅吹基环树

$No.0$ 前言#

是这几天做题之后的总结，有错请指出并加以嘲讽。

$No.1$ 定义#

基环树，$n$ 点 $n$ 边的连通图，比寻常的树多一条边，因此势必会形成一个环，所以又称环套树。如果不保证联通的话，就变成了基环树森林。

如图：

一般基环树的题问题大多是基环树直径、基环树两点之间距离，基环树DP等。

特殊形态#

无向图中的基环树

外向树：每个点只有一条入边

内向树：每个点只有一条出边

以上三种形态的基环树在很多题目中可以直接将环当成树根使用。

$No.2$ 解决思路#

一般基环树的题都从找环开始，环可以用拓扑排序,并查集和其他奇奇怪怪的算法找出。

发现可以将环与树分开讨论，分开处理树，考虑环，也可以找到树上的环，断掉一条边或多次断环再进行树上的操作。

思路无力，例题解释。

$No.3$ 例题#

城市距离#

容易发现此题为一道基环树上的 DP。如果不考虑多一条边，就为没有上司的舞会，树形 DP 裸题。思考如何转换。

考虑找到基环树环上任意一条边。设节点为 $u,v$。切断之后就会变成一棵树，就能运用树形 DP 的解决思路，分别将 $u,v$ 设为根节点跑 DP。

注意边不是真正意义上被切断，所以 $u,v$ 最多只能留下一个节点，于是将 $d{p}_u{,}_0$ 与 $d{p}_v{,}_0$， 即不选 $u$ 的答案与不选 $v$ 的答案比较即可。

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[NOIP2018 提高组] 旅行#

后 40 分明显为基环树，考虑到数据范围 $n\le 5000$，我们可以在找到环之后枚举环上每一条边进行删除，因按字典序排序，1 为起点进行 dfs 即可。注意跑的时候随时按答案数组剪枝。

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[IOI2008] Island#

有点难调的一道题。

题意简单，给定一个基环树森林，求每一棵基环树的最大直径和。

将答案分成两种情况，直径经过环与直径不经过环。

如果直径不经过环，那它一定在环上某节点的子树中，可以直接树形 DP。

如果直径经过环，那它的结构一定是： $f_u+dis(u,v)+f_v$， 其中 $f_u$ 表示节点 $u$ 的子树中离 $u$ 节点最远的距离，$dis(u,v)$ 表示 $u$ 到 $v$ 的最长距离。

子树上的答案很好求，关键在于求环上两点的距离，要在 $O(n)$ 的时间复杂度中完成。

考虑破环成链，将每个节点的距离前缀和记录下来，于是原直径就变成了 $f_u+f_v+pr{e}_v-pr{e}_u$。转换可得 $(f_v+pr{e}_v)+(f_u-pr{e}_u)$， 很好，熟悉的感觉，上单调队列。最后统计答案即可。

部分代码：

void Topo_Sort() {
	for (int i = 1; i <= n; i ++){
		if (in[i] == 1){
			q.push(i);
		}
	}
    while (!q.empty()){
        int u = q.front();
		q.pop();
        for (int i = 0; i < Gra[u].size(); i ++){
            int v = Gra[u][i].v;
			int w = Gra[u][i].w;
            if (du[v] <= 1){
            	continue;
			} 
            dp[c[u]] = max(dp[c[u]], f[u] + f[v] + w);
            f[v] = max(f[v], f[u] + w);
            in[v] --;
            if (in[v] == 1){
            	q.push(v);
			}
        }
    }
}

void DP() { 
	for (int i = 1; i < m; i ++){
		a[i + m] = a[i];
		b[i + m] = b[i] + b[m + 1];
	}
	he = ta = 1
	q[he] = 1;
	for (int i = 2; i < 2 * m; i ++){
	    while (he <= ta && i - q[he] >= m) {
	    	he ++;
		}
	    dp[co] = max(dp[co], a[i] + a[q[he]] + b[i] - b[q[he]]);
	    while (he <= ta && a[i] - b[i] >= a[q[ta]] - b[q[ta]]){
	    	ta --;
		} 
	    q[++ ta] = i;
	}
}

$No.4$ 总结#

基环树理解不难，算是在考树的时候增加难度的一个东西。

撒花（暑假要奋斗o