初二矩阵快速幂定时突袭——总结

矩阵加速入门2#

思路：#

基础的矩阵快速幂题，稍微卡常。

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{cc}{f}_2& f_1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 0\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=2;
R.n=R.m=2;
L.Mat[1][1]=1;L.Mat[1][2]=1;
R.Mat[1][1]=1;R.Mat[1][2]=1;
R.Mat[2][1]=1;R.Mat[2][2]=0;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-2);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

矩阵加速入门3#

思路：#

题目在 $f_{n-1}$ 与 $f_{n-2}$ 前分别加上了一个常数，只需把加速矩阵中的常数 $1,1$ 变为 $p,q$ 即可。

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{cc}{f}_2& f_1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{cc}p& 1\\ q& 0\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=2;
R.n=R.m=2;
L.Mat[1][1]=1;L.Mat[1][2]=1;
R.Mat[1][1]=p;R.Mat[1][2]=1;
R.Mat[2][1]=q;R.Mat[2][2]=0;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-2);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

矩阵加速入门4#

思路：#

此题为3题的变式，很容易想到将 $2\ast 2$ 的矩阵变为 $5\ast 5$ 的矩阵，只是注意快速幂的幂应减去 $5$。

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{ccccc}{f}_5& f_4& f_3& f_2& f_1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{ccccc}p& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ q& 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=5;
R.n=R.m=5;
L.Mat[1][1]=1;L.Mat[1][2]=1;L.Mat[1][3]=1;L.Mat[1][4]=1;L.Mat[1][5]=1;
R.Mat[1][1]=p;R.Mat[1][2]=1;R.Mat[1][3]=0;R.Mat[1][4]=0;R.Mat[1][5]=0;
R.Mat[2][1]=0;R.Mat[2][2]=0;R.Mat[2][3]=1;R.Mat[2][4]=0;R.Mat[2][5]=0;
R.Mat[3][1]=0;R.Mat[3][2]=0;R.Mat[3][3]=0;R.Mat[3][4]=1;R.Mat[3][5]=0;
R.Mat[4][1]=0;R.Mat[4][2]=0;R.Mat[4][3]=0;R.Mat[4][4]=0;R.Mat[4][5]=1;
R.Mat[5][1]=q;R.Mat[5][2]=0;R.Mat[5][3]=0;R.Mat[5][4]=0;R.Mat[5][5]=0;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-5);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

矩阵加速入门5#

思路：#

此题与 $3$ 题只相差一个 $n$，考虑如何构造 $n$。我的想法是将原始矩阵带入 $n$ 与 $1$ ，在每次相乘时都加上一个自身与 $1$ 即可。

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{ccccc}& f_2& f_1& 2& 1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{cccc}p& 1& 0& 0\\ q& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=4;
R.n=R.m=4;
L.Mat[1][1]=1;L.Mat[1][2]=1;L.Mat[1][3]=2;L.Mat[1][4]=1;
R.Mat[1][1]=p;R.Mat[1][2]=1;R.Mat[1][3]=0;R.Mat[1][4]=0;
R.Mat[2][1]=q;R.Mat[2][2]=0;R.Mat[2][3]=0;R.Mat[2][4]=0;
R.Mat[3][1]=1;R.Mat[3][2]=0;R.Mat[3][3]=1;R.Mat[3][4]=0;
R.Mat[4][1]=1;R.Mat[4][2]=0;R.Mat[4][3]=1;R.Mat[4][4]=1;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-2);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

矩阵加速入门6#

思路：#

多一个 $n^2$ ，考虑在原始矩阵构造进去 $n^2$，思考如何通过加速矩阵得到$f_{n+1}$

$f_{n+1}=p\ast f_n+q\ast f_{n-1}+(n+1{)}^2+n+1+1$

$$ $=p\ast f_n+q\ast f_{n-1}+n^2+2\ast n+1+n+1+1$

$$ $=p\ast f_n+q\ast f_{n-1}+n^2+3\ast n+3$

如此就得到了 $f_{n+1}$ 的式子。

$(n+1{)}^2$ 就等于 $n^2+2\ast n+1$

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{cccccc}& f_2& f_1& 2^2& 2& 1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{ccccc}p& 1& 0& 0& 0\\ q& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0& 0\\ 3& 0& 2& 1& 0\\ 3& 0& 1& 1& 1\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=5;
R.n=R.m=5;
L.Mat[1][1]=1;L.Mat[1][2]=1;L.Mat[1][3]=4;L.Mat[1][4]=2;L.Mat[1][5]=1;
R.Mat[1][1]=p;R.Mat[1][2]=1;R.Mat[1][3]=0;R.Mat[1][4]=0;R.Mat[1][5]=0;
R.Mat[2][1]=q;R.Mat[2][2]=0;R.Mat[2][3]=0;R.Mat[2][4]=0;R.Mat[2][5]=0;
R.Mat[3][1]=1;R.Mat[3][2]=0;R.Mat[3][3]=1;R.Mat[3][4]=0;R.Mat[3][5]=0;
R.Mat[4][1]=3;R.Mat[4][2]=0;R.Mat[4][3]=2;R.Mat[4][4]=1;R.Mat[4][5]=0;
R.Mat[5][1]=3;R.Mat[5][2]=0;R.Mat[5][3]=1;R.Mat[5][4]=1;R.Mat[5][5]=1;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-2);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

矩阵加速入门7#

思路：#

这应该是最复杂的一道题了，如 $6$ 题，考虑在原始矩阵构造进去 $n^3$，思考如何通过加速矩阵得到$f_{n+1}$

$f_{n+1}=a\ast f_n+b\ast f_{n-1}+c\ast (n+1{)}^3+d\ast (n+1{)}^2+e$

$$ $=a\ast f_n+b\ast f_{n-1}+c\ast (n^3+3\ast n^2+3\ast n+1)+d\ast (n^2+2\ast n+1)+e$

$$ $=a\ast f_n+b\ast f_{n-1}+c\ast n^3+3\ast c\ast n^2+3\ast c\ast n+c+d\ast n^2+2\ast d\ast n+d+e$

$$ $=a\ast f_n+b\ast f_{n-1}+c\ast n^3+(3\ast c+d)\ast n^2+(3\ast c+2\ast d)\ast n+c+d+e$

如此就得到了 $f_{n+1}$ 的式子。

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{ccccccc}& f_2& f_1& 2^3& 2^2& 2& 1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{cccccc}a& 1& 0& 0& 0& 0\\ b& 0& 0& 0& 0& 0\\ c& 0& 1& 0& 0& 0\\ d+3\ast c& 0& 3& 1& 0& 0\\ 2\ast d+3\ast c& 0& 3& 2& 1& 0\\ c+d+e& 0& 1& 1& 1& 1\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=6;
R.n=R.m=6;
L.Mat[1][1]=1;L.Mat[1][2]=1;L.Mat[1][3]=8;L.Mat[1][4]=4;L.Mat[1][5]=2;L.Mat[1][6]=1;
R.Mat[1][1]=a;R.Mat[1][2]=1;R.Mat[1][3]=0;R.Mat[1][4]=0;R.Mat[1][5]=0;R.Mat[1][6]=0;
R.Mat[2][1]=b;R.Mat[2][2]=0;R.Mat[2][3]=0;R.Mat[2][4]=0;R.Mat[2][5]=0;R.Mat[2][6]=0;
R.Mat[3][1]=c;R.Mat[3][2]=0;R.Mat[3][3]=1;R.Mat[3][4]=0;R.Mat[3][5]=0;R.Mat[3][6]=0;
R.Mat[4][1]=d+3*c;R.Mat[4][2]=0;R.Mat[4][3]=3;R.Mat[4][4]=1;R.Mat[4][5]=0;R.Mat[4][6]=0;
R.Mat[5][1]=d*2+3*c;R.Mat[5][2]=0;R.Mat[5][3]=3;R.Mat[5][4]=2;R.Mat[5][5]=1;R.Mat[5][6]=0;
R.Mat[6][1]=c+d+e;R.Mat[6][2]=0;R.Mat[6][3]=1;R.Mat[6][4]=1;R.Mat[6][5]=1;R.Mat[6][6]=1;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-2);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

矩阵加速入门8#

思路：#

比较水的一道题，只需修改初始矩阵即与 $5$ 题无区别。

原始矩阵：#

$\left[\begin{array}{ccccc}& b(f_2)& a(f_1)& 2& 1\end{array}\right]$

加速矩阵：#

$\left[\begin{array}{cccc}p& 1& 0& 0\\ q& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 0& 1& 1\end{array}\right]$

代码：#

Code

L.n=1,L.m=6;
R.n=R.m=6;
L.Mat[1][1]=k2;L.Mat[1][2]=k1;L.Mat[1][3]=2;L.Mat[1][4]=1;
R.Mat[1][1]=p;R.Mat[1][2]=1;R.Mat[1][3]=0;R.Mat[1][4]=0;
R.Mat[2][1]=q;R.Mat[2][2]=0;R.Mat[2][3]=0;R.Mat[2][4]=0;
R.Mat[3][1]=1;R.Mat[3][2]=0;R.Mat[3][3]=1;R.Mat[3][4]=0;
R.Mat[4][1]=1;R.Mat[4][2]=0;R.Mat[4][3]=1;R.Mat[4][4]=1;
Matrix ans=L*QuickPow(R,n-2);
printf("%lld\n",ans.Mat[1][1]);

总结#

失误巨大，将每题的 $n$ 都开成了 $int$，结果 $AK$ --> 爆零，是一次惨痛的教训。

考后悲伤没有用，希望以后读题，打代码一定细心仔细，不再犯此类低级错误！