数论——费马小定理

简介：#

费马小定理($Ferma{t}^{\prime }s$ $little$ $theorem$)是数论中的一个重要定理，在$1636$年提出。

定义：#

如果 $p$ 为质数，且 $amodp\ne 0$，则有 $a^{p-1}modp=1$

$PS:$

先证明一个裴蜀定理的引理。

推论：如果 $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$，且 $gcd(a,b)=1$，则 $0,a,2a,3a...(b-1)a$ 这些数 $modb$ 的值互不相同。

证明：

假设 $\mathrm{\exists }$ 两个不同的数 $i\ast a,j\ast a(0<j<i<b,i,j\in {\mathbb{Z}}^{+})$，使 $aimodb=ajmodb$

则 $a(i-j)modb=0$，且$0<i-j<b$

矛盾

费马小定理证明：#

$\because (1a\ast 2a\ast 3a\ast ...\ast ((p-1)a))modp=a^{p-1}\ast (p-1)!modp$

又 $\because p$ 为质数，且 $p\nmid a$，根据上述引理可得：

$amodp,2amodp,3amodp...(p-1)amodp$互不相同，且区间为 $[1,p-1]$

$\therefore (a\ast 2a\ast 3a\ast (p-1)a)modp=(p-1)!modp$

$\therefore (p-1)!modp=a^{p-1}\ast (p-1)!modp$

$\therefore (p-1)!\equiv a^{p-1}\ast (p-1)!(\mathrm{mod}p)$

又 $\because p$ 是质数

$\therefore gcd(p,(p-1)!)=1$

$\therefore a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

证毕

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努力学数学 $ing$#

完结#