数论——扩展欧几里得

No.1 前置知识#

1. 欧几里得算法（辗转相除法）

2. 裴蜀定理

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No.2 算法，证明及函数#

扩展欧几里得算法用来解决这样一个问题：给定两个非零的整数 $a$ 和 $b$，求一组整数解 $(x，y)$ 使得 $ax+by=gcd(a,b)$ 成立（通过裴蜀定理可知一定存在解）。

证明：#

设 $a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$，设 $b{x}_2+(amodb)y_2=gcd(b,amodb)$

由欧几里得算法可知：$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(amodb)y_2$

又$\because amodb=a-kb(k$ 为商且 $k\in \mathbb{Z})$

又$\because k=\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}\rfloor }$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-b\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}\rfloor )y_2}$

整理得：$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}\rfloor y_2)}$

$\therefore \mathrm{\exists }{x}_1=y_2,y_1=x_2-\lfloor {\displaystyle \frac{a}{b}\rfloor y_2}$

可以看出：$(x_1,y_1)$ 这组解由 $(x_2,y_2)$ 得来

不难发现：当$x_n,y_n$ 关于 $gcd(a,0)$ 时，$a{x}_n+b{y}_n=a,\mathrm{\exists }{x}_n=1,y_n=0$

$\mathrm{\exists }$ 这组边界整数解可得 $x_1,y_1$

函数:#

Code

void exgcd(int a,int b){
    if(b==0){
	x=1;
	y=0;
	return;
    }
    exgcd(b,a%b);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
}

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No.3 例题#

3.1同余方程#

链接：$Link$

分析：

题目要求关于 $x$ 的同余方程 $ax\equiv 1(\mathrm{mod}b)$ 的最小正整数解。

可以转换得到：$axmodb=1$

于是 $ax+by=1$

这个式子我们很熟悉，但是它有一点不对劲，扩欧的标准是 $ax+by=gcd(a,b)$，为什么有 $1$。

很简单，它说明了 $gcd(a,b)=1$，$a,b$互质。

接下来，就可用扩欧得出 $x,y$ 的一组特殊解。

问题来了，此时 $x,y$ 只满足 $ax+by=1$，$x$ 不一定为最小整数解。

此时，可将 $x$ 加上 $kb(k\in \mathbb{Z})$，从而得到 $x$ 的最小整数解。

$\because ax+by=1$

$\therefore ax+by+pab-pab=1$

$\therefore a(x-bp)+b(y-ap)=1$

$\therefore$ 可得 $x$ 的最小整数解为 $(xmodb+b)modb$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

long long x,y;

long long read(){
	long long s=0,w=1;
	char ch=getchar();
	while(ch>'9'||ch<'0'){
		if(ch=='-'){
			w=-1;
		}
		ch=getchar();
	}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){
		s=s*10+ch-'0';
		ch=getchar();
	}
	return s*w;
}

void exgcd(long long a,long long b){
	if(b==0){
		x=1;
		y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long t=x;
	x=y;
	y=t-(a/b)*y;
}

int main(){
	long long a,b;
	scanf("%lld%lld",&a,&b);
	exgcd(a,b);
	printf("%lld\n",(x%b+b)%b);
	return 0;
}

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认真学数学$ing$#

完结#