初等数论——整除，模运算，同余【未完结】

No.1 概念#

初等数论($Elementary$ $number$ $theory$)是研究数的规律，特别是整数性质的数学分支。它是数论的一个最古老的分支。它以算术方法为主要研究方法，主要内容有整数的整除理论、同余理论、连分数理论和某些特殊不定方程。 换言之，初等数论就是用初等、朴素的方法去研究数论。另外还有解析数论（用解析的方法研究数论）、代数数论（用代数结构的方法研究数论）。

No.2 整除#

1.定义#

设$a,b\in \mathbb{Z}$，$a\ne 0$，如果$\exists \mathbb{Z}q$，使$aq=b$，则$b$能被$a$整除，记为$a\mid b$。

2.性质#

2.1. 传递性 如果$a\mid b$，且$b\mid c$，则$a\mid c$。

证明：

$\because a\mid b$，令$ax=b(x\in \mathbb{Z}$且$x\ne 0)$

又$\because b\mid c$，令$by=c(y\in \mathbb{Z}$且$y\ne 0)$

$\therefore axy=c(x,y\in \mathbb{Z}$且$x,y\ne 0)$

$\therefore a\mid c$

2.2. $a\mid b$且$a\mid c$等价于$\forall \mathbb{Z}x,y$，有$a\mid (bx+cy)$

证明：

$\because a\mid b，\mathrm{令}as=b(s\in \mathbb{Z}\mathrm{且}s\ne 0)$

$\mathrm{又}\because a\mid c，\mathrm{令}at=c(t\in \mathbb{Z}\mathrm{且}t\ne 0)$

$\mathrm{又}\because bx+cy=asx+aty=a(sx+ty)(s,t\in \mathbb{Z}\mathrm{且}s,t\ne 0)$

$\therefore a\mid a(sx+ty)$

$\therefore a\mid (bx+cy)$

2.3.设$m\ne 0$，则$a\mid b$等价于$ma\mid mb$

证明：

$\because a\mid b，\mathrm{令}ax=b(x\in \mathbb{Z}\mathrm{且}x\ne 0)$

$\therefore axm=bm(m\ne 0)$

$\because am\mid axm$

$\therefore ma\mid mb$

2.4.$ax+by=1，a\mid n，b\mid n，$那么$a\ast b|n$

证明：

$\because a\mid n，b\mid n$

$\therefore n=as=bt$

又$\because ax+by=1$

$\therefore {\displaystyle \frac{ax+by}{ab}={\displaystyle \frac{1}{ab}}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{x}{b}+{\displaystyle \frac{y}{a}={\displaystyle \frac{1}{ab}}}}$

$\therefore {\displaystyle \frac{n}{ab}=n({\displaystyle \frac{x}{b}+{\displaystyle \frac{y}{a})=tx+sy}}}$

$\because (tx+sy)\in \mathbb{Z}$

$\therefore {\displaystyle \frac{n}{ab}\in \mathbb{Z}}$

$\therefore a\ast b\mid n$

2.5. 若$b=qd+c$，那么$d\mid b$的冲要条件是 $d\mid c$

易证。

No.3 模运算#

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鸽鸽~~