斜率优化
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斜率优化动态规划
以前写过一篇关于动态规划斜率优化的文章，但是非常不好懂T_T，这两天做了一些斜率优化的题，再总结一下：
例题：HDU 3507
首先这个题朴素的DP方程是这样的：
\(f_i=min(f_j+\sum_{k=j+1}^i(cost_k)+M\)
如果我们记\(cost\)的前缀和为\(s\)，那么
$f_i=min(f_j+(s_i-s_j)^2)+M \(
化简得到：
\)f_i=min(f_j+s_i2+s_j2-2s_is_j)+M\(
注意到\)s_i\(只与\)f_i\(有关，所以可以从括号内提出
\)f_i=min(f_j+s_j2-2s_is_j)+M+s_i2\(
所以决策的表达式就是
\)f_j+s_j^2-2s_is_j$
现在我们考虑任意两个决策点\(a\)和\(b\)（也就是说\(j=a\)和\(j=b\)的情况）
假设\(a < b\)
那么决策\(a\)比决策\(b\)更优的条件就是
\(f_a+s_a^2-2s_is_a < f_b+s_b^2-2s_is_b\)
整理得到
\((f_a+s_a^2)-(f_b+s_b^2) < 2s_i(s_a-s_b)\)
继续整理，得到
这就是决策\(a\)比决策\(b\)更优的条件
仔细观察这个式子，如果我们把\(f_a+s_a^2\)和\(f_b+s_b^2\)分别看做点A和B的纵坐标，\(s_a\)和\(s_b\)看做点A和B的横坐标，那么不等式左面就可以看成是一个斜率式。斜率优化的名字就由此而来。
下文中我们就把不等式左面记做\(k_{a,b}\)
我们再来考虑三个决策\(a,b,c(a < b < c)\).
如果有 \(k_{a,b} < k_{b,c}\) 那么意味着什么呢？
判断两个决策谁更优需要和\(s_i\)比较，我们分三种情况讨论：
- \(k_{a,b} < k_{b,c} < s_i\)
因为\(k_{a,b} < s_i\)，所以决策\(a\)决策\(b\)更好
因为\(k_{b,c} < s_i\)，所以决策\(b\)决策\(c\)更好
综上我们在\(a,b,c\)中我们应该选择决策\(a\) - \(s_i < k_{a,b} < k_{b,c}\)
这种情况下决策\(b\)比决策\(a\)好，决策\(c\)比决策\(b\)好，所以我们应该选择决策\(c\) - $ k_{a,b} < s_i < k_{b,c}\( 这种情况下决策\)a\(比决策\)b\(好，决策\)c\(也比决策\)b\(好，虽然我们不能确定决策\)a\(和决策\)c\(谁更好，但是肯定能确定决策\)b\(是不好的，不用考虑决策\)b$了
通过以上三种情况，我们发现只要有 \(k_{a,b} < k_{b,c}\)，决策\(b\)就一定不是最好的，不用考虑了
基于这一点，我们有效地减少了需要考虑的决策数，从而对这类DP进行了优化。
那么具体怎么实现呢？
如果我们把各个决策以点\((s_j,f_j+s_j^2)\)的形式画在平面上，并且对于任意三个点A,B,C（按照横坐标A < B < C）都保证\(k_{a,b} < k_{b,c}\) 不成立（换句话说我们删去所有使得\(k_{a,b} < k_{b,c}\)的B点），那么我们就会发现剩下的图形是一个凸多边形。
也就是说，如果把各个决策看成是点，我们实际上要维护的是这些点的凸包。
具体实现的时候，分两种情况：
1．像这道题一样，决策点是依次出现的（横坐标依次增大），那么就非常简单了：
我们维护一个单调队列，每次算完一个\(f\)的值，就把其对应的决策点加入单调队列队尾，把这个决策点看做是Ｃ，如果单调队列中有两个点或以上，就把最后的两个点看做是Ａ和Ｂ，如果\(k_{a,b} < k_{b,c}\)那么就把单调队列中最后一个点删去，直到\(k_{a,b} < k_{b,c}\) 不成立为止，加入这个新的决策点
每次需要计算\(f_i\)值的时候，首先维护一下队头，如果队列中有两个或以上元素，且第一个点和第二个点的斜率值 $ < s_i\(的话，就删去队头。*因为\)s_i\(是递增的，现在\) < s_i\(以后肯定\) < s_{i+1}$，所以这样维护是合理的。*
这样维护过后，直接取队头的决策就是当前最优的决策。
如果你想不通为什么队头就是最优决策的话，画一张图看看。因为维护过的图形是一个上凸包，所以所有的斜率都是随着横坐标的增大而递减的，又因为第一个斜率$ < s_i\(，所以所有的斜率都\) < s_i\(。那么从队头开始每个点都优于他后面一个点（因为这个斜率\) < s_i$），根据传递性队头的点就是最优的了。
这种情况下状态数仍然是\(O(n)\)的，但转移的时间复杂度从\(O(n)\)下降到\(O(1)\)。又因为单调队列均摊下俩是\(O(1)\)的，所以整体时间复杂度就从\(O(n^2)\)优化到了\(O(n)\)
2．如果各个决策点出现的顺序是无须的,比如bzoj1492,那么就不能简单的用一个单调队列维护了，我们需要一颗平衡树，每次找到决策需要插入的位置，并分别向左向右维护凸包。这变成了一个经典的动态凸包问题。当然，这个题有其他不用斜率优化的更好的做法。
以上就是斜率优化的全部原理和实现方法。附上hdu3507的代码以供参考：
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <iostream>
#define MAXN (500000+10)
using namespace std;
int s[MAXN],a[MAXN],f[MAXN];
struct node{
int x,y,ss;
node(int x=0,int y=0,int ss=0):x(x),y(y),ss(ss) {}
};
struct Mono_queue{
node t[MAXN];
int f,r;
int size;
void init(){
memset(t,0,sizeof t);
f=0;
r=0;
size=0;
}
void push(node x){
while (size>=2){
if ((x.x-t[r-1].x >0 && t[r-1].x-t[r-2].x>0) || (x.x-t[r-1].x <0 && t[r-1].x-t[r-2].x<0)){
if ((x.y-t[r-1].y)*(t[r-1].x-t[r-2].x)<=(t[r-1].y-t[r-2].y)*(x.x-t[r-1].x)) r-- , size--;
else break;
}else {
if ((x.y-t[r-1].y)*(t[r-1].x-t[r-2].x)>=(t[r-1].y-t[r-2].y)*(x.x-t[r-1].x)) r-- , size--;
else break;
}
}
t[r++]=x;
size++;
}
void maintain(int x){
while (size>=2){
if ((t[f+1].x-t[f].x)>0){
if ((t[f+1].y-t[f].y)<=x*(t[f+1].x-t[f].x)) f++ , size--;
else break;
}else{
if ((t[f+1].y-t[f].y)>=x*(t[f+1].x-t[f].x)) f++ , size--;
else break;
}
}
}
int top(){
return t[f].ss;
}
}T;
int main (int argc, char *argv[])
{
int m,n;
while (scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
T.init();
memset(f,0,sizeof f);
for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
for (int i=1;i<=n;i++) s[i]=s[i-1]+a[i];
T.push(node(0,0,0));
for (int i=1;i<=n;i++){
T.maintain(2*s[i]);
int ss=T.top();
f[i]=f[ss]+s[ss]*s[ss]-2*s[ss]*s[i]+s[i]*s[i]+m;
T.push(node(s[i],f[i]+s[i]*s[i],i));
}
printf("%d\n",f[n]);
}
return 0;
}
斜率优化的题目都是大同小异，DP 的形式都差不多，只要能整理成斜率式，就能斜率优化。如果变量分离不开，那就不能斜率优化了。
