前缀和 与 树状数组

通常情况下，树状数组可用来处理单点修改，区间查询。 通过前缀和的转换，可以使其处理区间修改和单点查询。

考虑原数组和前缀和数组：

修改原数组的某个点（i）              等价于      修改前缀和数组 的一条线段（1~i 都要修改）

查询原数组的某条线段（1~i）     等价于      查询前缀和数组的一个点（i）

这样，适当地处理前缀和数组和原数组，就可以转化两种问题。

通常情况下，对于A，我们会计算其前缀和数组B，但为了转化问题，也可以把A看做B的前缀和数组。（这里运用BIT时就出现了所谓的 “  前缀和的前缀和 “）

附上树状数组的模板：单点修改，区间查询

一维（标准）

#define lowbit(i) ((i)&(-i))
struct BIT{
    int t[R][C];
    int query(int x){
        int ret=0;
        for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
                ret+=t[i];
        return ret;
    }
    void add(int x,int val){
        for (int i=x;i<=m;i+=lowbit(i))
                t[i]+=val;
    }
};

多维（扩展）

#define lowbit(i) ((i)&(-i))
struct BIT{
    int t[R][C];
    int query(int x,int y){
        int ret=0;
        for (int i=x;i>0;i-=lowbit(i))
            for (int j=y;j>0;j-=lowbit(j))
                ret+=t[i][j];
        return ret;
    }
    void add(int x,int y,int val){
        for (int i=x;i<=m;i+=lowbit(i))
            for (int j=y;j<=n;j+=lowbit(j))
                t[i][j]+=val;
    }
};

使用时不要忘记初始化。初始化的方法就是把每个点都插入一遍。

还要注意BIT查询时的返回值是前缀和。