数学插值比较

确定性	随机性	确定性	随机性
趋势面（非精确）	回归（非精确）	泰森（精确） 密度估算（非精确） 反距离权重（精确） 薄板样条（精确）	克里金（精确）

整体拟合利用现有的所有已知点来估算未知点的值。

局部插值使用已知点的样本来估算位置点的值。

确定性插值方法不提供预测值的误差检验。

随机性插值方法则用估计变异提供预测误差的评价。

 对于某个数据已知的点，精确插值法在该点位置的估算值与该点已知值相同。也就是，精确插值所生成的面通过所有控制点，而非精确插值或叫做近似插值，估算的点值与该点已知值不同。

1、反距离加权法（Inverse Distance Weighted）

    反距离加权法是一种常用而简单的空间插值方法，IDW是基于“地理第一定律”的基本假设:即两个物体相似性随他们见的距离增大而减少。它以插值点与样本点间的距离为权重进行加权平均，离插值点越近的样本赋予的权重越大，此种方法简单易行，直观并且效率高，在已知点分布均匀的情况下插值效果好，插值结果在用于插值数据的最大值和最小值之间，但缺点是易受极值的影响。

2、样条插值法（Spline）

样条插值是使用一种数学函数，对一些限定的点值，通过控制估计方差，利用一些特征节点，用多项式拟合的方法来产生平滑的插值曲线。这种方法适用于逐渐变化的曲面，如温度、高程、地下水位高度或污染浓度等。该方法优点是易操作，计算量不大，缺点是难以对误差进行估计，采样点稀少时效果不好。

样条插值法又分为

 

• 张力样条插值法（Spline with Tension）
• 规则样条插值法（Regularized Spline）
• 薄板样条插值法 (Thin-Plate Splin)

3、克里金法（Kriging）

克里金方法最早是由法国地理学家Matheron和南非矿山工程师Krige提出的，用于矿山勘探。这种方法认为在空间连续变化的属性是非常不规则的，用简单的平滑函数进行模拟将出现误差，用随机表面函数给予描述会比较恰当。(克里金中包括几个因子：变化图模型、漂移类型和矿块效应)

克里金方法的关键在于权重系数的确定，该方法在插值过程中根据某种优化准则函数来动态地决定变量的数值，从而使内插函数处于最佳状态。克里金方法考虑了观测的点和被估计点的位置关系，并且也考虑各观测点之间的相对位置关系，在点稀少时插值效果比反距离权重等方法要好。所以利用克里金方法进行空间数据插值往往取得理想的效果。

在地质统计学中，根据应用目标的区别，发展了多种克里格方法如：

• 简单克里格(Simple-Kriging)、
• 普通克里格(Ordinary-Kriging)、
• 泛克里格(Universal-Kriging)、
• 对数正态克里格(Log-Normal Kriging)、
• 协同克里格(Cokriging)、
• 拟协克里格(Pseudo-Kriging)、
• 指示克里格(Indicator-Kriging)、
• 离析克里格（Disjunctive-Kriging）

在三维地质建模过程中，克里格被作为插值方法，能过最大的程度的保证地质界面与原始数据的吻合，且不依赖于网络。

4、离散平滑插值（Discrete Smooth Interpolation）

DSI方法是法国南锡大学J.L.Mallet教授提出的，该方法依赖于网格结点的拓扑关系，不以空间坐标为参数，是一种不受维数限制的差值方法。

DSI插值基本思想：欲在一个离散化数据点间建立相互联络的网络，如果网络上的已知节点值满足某种约束条件，则未知节点上的值可以通过解线性方程而得到。

DSI插值算法的数学描述：在有节点连接构成的网格Ω内部，已知网络节点集成为L，未知网络节点集为I（I+L=Ω）；f(*)为Ω内的一个分段连续函数，函数f（*）在节点集合L上假设一直，插值算法的目的通过f（*）推测出在集合I上的内插值函数Φ（*）表达式。

显然，插值函数只能无穷逼近未知网格节点，为了选择一个“最优”表达式，DSI算法利用二次检验函数（全局平滑度函数）R（ψ）来检验一个可能的插值函数，二次检验函数如下式所示。R(ψ)=ψ*[W]* ψ 其中[W]是给定的正定对称矩阵，R(ψ)由多个局部平滑度函数在线性约束下确定，通过检验函数的约束，可以得到最优的插值函数表达式，进而求得内插值函数Φ（*）集，在实际应用中，可以结合专家经验来现则合适的插值函数。

5、趋势面光滑插值（Trend Surface）

作为一个非精确的插值方法，趋势面插值用多项式表示的线或面按最小二乘法原理对数据点进行拟合，并用于估算其它值的点，线和面多项式的选择取决于数据是一维还是二维。

线性或一阶次趋势面的数学模拟模型、二次趋势面的数学模拟模型、三次趋势面的数学模拟模型（二维）

 

趋势面分析的优点：它是一种极易理解的技术，至少在计算方法上易于理解。另外，大多数数据特征可以用低次多项式来模拟。