动态规划解0-1背包问题
本博文为博主自己对0-1背包问题的理解并结合网上的博客所写，因为个人水平有限，若是有错误的地方欢迎指出。谢谢！
- 问题描述：
给定n种物品和一个背包，物品i的重量是w[i]，其价值为v[i]，背包容量为cap，如何选择转入背包的物品，使得装入背包中的物品价值总最大？
- 问题归纳
对于某一种物品，要么装入背包，要么不装，我们将其状态取0-1，装入为1，不装为0，此问题称为0-1背包问题。
一、问题分析及代码实现
当w[ ]={2,2,6,5,4}；v[ ]={6,3,5,4,6}，背包容量cap=10时
1、新建一个二维数组dp[6][11]，dp[i][j]为背包容量为j，第i个物品装入背包时的最大价值。
为什么要多一行一列了？因为这时要考虑，不往背包装物品和背包容量为0时的情况，此时。装入第一个物品时，只有当cap>=w[1]，如下图：
2、上图中，只有一个物品w[1 ]，所以就算cap容量再大也只放一个，当装物品2时，只考虑1、2不考虑剩下的，只考虑已经装的和即将装入的价值。同理得到：
其中，蓝色的框表示，当考虑物品 i 时，虽然，此时背包容量等于w[ i ]，但是其价值没有之前的同等容量下的价值大，所以维持不变。绿色表示，当此时背包的容量减去当前物品的重量以后，还有多余的容量，而多余的容量能装下的物品大的价值大与之前的方案，所以修改装入方案，使价值最大。
3、递推式：
当当cap<w[i]，说明装不下当前的，那此时价值应该和之前的相同；当cap>=w[i]，要考虑装入目前的了，多余的空间装入的价值和之前方案的价值的比较，若小于，则当前物品不用装入，若大于就装入；
1 dp= dp[i-1][j]; //当cap<w[i] 2 max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]); //当cap>=w[i]
4、代码实现：
1 /*说明: 2 *w[]为每个物体的重量，v[]为每个物体的价值，cap为背包的容量 3 */ 4 int Knapsack(const vector<int> &w,const vector<int> &v,const int cap) 5 { 6 int n=w.size(); //亦为物体的个数 7 vector<vector<int>> dp(n+1,vector<int>(cap+1,0)); 8 int i,j; 9 for(i=1;i<=n;i++) 10 { 11 for(j=1;j<=cap;j++) 12 { 13 dp[i][j]=dp[i-1][j]; 14 if(j>=w[i-1]) 15 { 16 dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i-1]); 17 } 18 } 19 } 20 return dp[n+1][cap+1]； 21 }
这里也可以用数组而不用向量，但因数组作为形参的时候，不能引入数组大小，函数要增加一个形参，所以图省事就用了向量。另外，这里代码中w[i-1]和v[i-1]之所以要减1，是因为二维矩阵中的下标与重量w[ ]和价值v[ ]的下标相差1要记得转换。
二、空间优化
注意到一点，就是每当我们计算dp[i][j]时，只用到了dp[i-1][0...j]，因此，我们可以只用一个一维数组来实现上面的功能。
这里w[ ]={2,2,6,5,4}；其下标不用转换。
1 int Knapsack(const vector<int> &w,const vector<int> &v,const int cap) 2 { 3 int n=w.size(); //亦为物体的个数 4 vector<int> dp(cap+1,0); 5 int i; 6 for(i=0;i<n;i++) 7 { 8 for(j=cap;j>=0;j--) 9 { 10 if(w[i]<j) 11 { 12 dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]); 13 } 14 } 15 } 16 return dp[cap+1]; 17 }
值得注意的是：
dp[ ]是从右往左更新的，因为若是从左往右更新，其后的的值会受到之前已更新的值的影响，达不到不优化空间之间的访问上一行中元素的效果。这一点在很多优化动态规划算法的空间时都要注意。
Ref:
http://blog.csdn.net/kangroger/article/details/38864689
http://blog.csdn.net/dapengbusi/article/details/7463968
http://blog.csdn.net/stack_queue/article/details/53544109(背包九讲）
