Manacher's Algorithm ----马拉车算法

本文是我对博友 BIT祝威 和Grandyang ,以及寒小阳关于最长回文子串上关于马拉车算法理解的整理，若是对我的整理有所不懂得，建议去看BIT祝威的博客，很详细，以下纯属个人不成熟的理解。

首先，得先了解什么是回文串（我之前就不是很了解，汗）。回文串就是正反读起来就是一样的，如“abba”。关于采用时间复杂度为O(n^2)，以每个字符为中心去向两端遍历寻找最大回文串的方法，可以见我之前些的博客，戳这里！

当我们遇到字符串为“aaaaaaaaa”，之前的算法就会发生各个回文相互重叠的情况，会产生重复计算，然后就产生了一个问题，能否改进？答案是能，1975年，一个叫Manacher发明了Manacher Algorithm算法，俗称马拉车算法，其时间复杂为O(n)。该算法是利用回文串的特性来避免重复计算的，至于如何利用，且由后面慢慢道来。

在时间复杂度为O(n^2)的算法中，我们在遍历的过程要考虑到回文串长度的奇偶性，比如说“abba”的长度为偶数，“abcba”的长度为奇数，这样在寻找最长回文子串的过程要分别考奇偶的情况，是否可以统一处理了？

马拉车算法：

一）第一步是改造字符串S，变为T，其改造的方法如下：

在字符串S的字符之间和S的首尾都插入一个“#”，如：S=“abba”变为T="#a#b#b#a#" 。我们会发现S的长度是4，而T的长度为9，长度变为奇数了！！那S的长度为奇数的情况时，变化后的长度还是奇数吗？我们举个例子，S=“abcba”，变化为T=“#a#b#c#b#a#”，T的长度为11，所以我们发现其改造的目的是将字符串的长度变为奇数，这样就可以统一的处理奇偶的情况了。

二）第二步，为了改进回文相互重叠的情况，我们将改造完后的T[ i ] 处的回文半径存储到数组P[ ]中，P[ i ]为新字符串T的T[ i ]处的回文半径，表示以字符T[i]为中心的最长回文字串的最端右字符到T[i]的长度，如以T[ i ]为中心的最长回文子串的为T[ l, r ]，那么P[ i ]=r-i+1。这样最后遍历数组P[ ]，取其中最大值即可。若P[ i ]=1表示该回文串就是T[ i  ]本身。举一个简单的例子感受一下：

数组P有一性质，P[ i ]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度 ，那就是P[i]-1就是该回文子串在原字符串S中的长度，至于证明，首先在转换得到的字符串T中，所有的回文字串的长度都为奇数，那么对于以T[i]为中心的最长回文字串，其长度就为2*P[i]-1,经过观察可知，T中所有的回文子串，其中分隔符的数量一定比其他字符的数量多1，也就是有P[i]个分隔符，剩下P[i]-1个字符来自原字符串，所以该回文串在原字符串中的长度就为P[i]-1。【这段解释引用 dyx心心】

另外，由于第一个和最后一个字符都是#号，且也需要搜索回文，为了防止越界，我们还需要在首尾再加上非#号字符，实际操作时我们只需给开头加上个非#号字符，结尾不用加的原因是字符串的结尾标识为'\0'，等于默认加过了。这样原问题就转化成如何求数组P[ ]的问题了。

三）如何求数组P [ ]

  从左往右计算数组P[ ]， Mi为之前取得最大回文串的中心位置，而R是最大回文串能到达的最右端的值。

  1）当 i <=R时，如何计算 P[ i ]的值了？毫无疑问的是数组P中点 i 之前点对应的值都已经计算出来了。利用回文串的特性，我们找到点 i 关于 Mi 的对称点 j ，其值为 j= 2*Mi-i 。因，点 j 、i 在以Mi 为中心的最大回文串的范围内（[L ,R]），

       a）那么如果P[j] <R-i （同样是L和j 之间的距离），说明，以点 j 为中心的回文串没有超出范围[L ,R]，由回文串的特性可知，从左右两端向Mi遍历，两端对应的字符都是相等的。所以P[ j ]=P[ i ]（这里得先从点j转到点i 的情况），如下图：

 

     b)如果P[ j ]>=R-i （即 j 为中心的回文串的最左端超过 L），如下图所示。即，以点 j为中心的最大回文串的范围已经超出了范围[L ,R] ，这种情况，等式P[ j ]=P[ i ]还成立吗？显然不总是成立的！因，以点 j 为中心的回文串的最左端超过L，那么在[ L, j ]之间的字符肯定能在( j, Mi ]找到相等的，由回文串的特性可知，P[ i ] 至少等于R- i，至于是否大于R-i（图中红色的部分），我们还要从R+1开始一一的匹配，直达失配为止，从而更新R和对应的Mi以及P[ i ]。

  2）当 i > R时，如下图。这种情况，没法利用到回文串的特性，只能老老实实的一步步去匹配。

相应的代码如下：

string Manacher(string s)
{
    /*改造字符串*/
    string res="$#";
    for(int i=0;i<s.size();++i)
    {
        res+=s[i];
        res+="#";
    }

    /*数组*/
    vector<int> P(res.size(),0);
    int mi=0,right=0;   //mi为最大回文串对应的中心点，right为该回文串能达到的最右端的值
    int maxLen=0,maxPoint=0;    //maxLen为最大回文串的长度，maxPoint为记录中心点

    for(int i=1;i<res.size();++i)
    {
        P[i]=right>i ?min(P[2*mi-i],right-i):1;     //关键句，文中对这句以详细讲解
        
        while(res[i+P[i]]==res[i-P[i]])
            ++P[i];
        
        if(right<i+P[i])    //超过之前的最右端，则改变中心点和对应的最右端
        {
            right=i+P[i];
            mi=i;
        }

        if(maxLen<P[i])     //更新最大回文串的长度，并记下此时的点
        {
            maxLen=P[i];
            maxPoint=i;
        }
    }
    return s.substr((maxPoint-maxLen)/2,maxLen-1);
}

 

若还是有不懂的，可以参考，这篇文章参考的大神们写的博客。本人小白啊，若有错误，欢迎大神留言指出！