AOV网络与拓扑排序

活动网络可以用来描述生产计划、施工过程、生产流程、程序流程等工程中各子工程的安排问题。活动网络可分为两种：AOV 网络和 AOE 网络。

1. AOV 网络与有向无环图 

一般一个工程可以分成若干个子工程，这些子工程称为活动。完成了这些活动，整个工程就完成了。实际上，可以用有向图来表示一个工程。在这种有向图中，用顶点表示活动，用有向边<u, v>表示活动 u 必须先于活动 v 进行。这种有向图叫做顶点表示活动的网络，记作 AOV 网络。 

在 AOV 网络中，如果存在有向边<u, v>，则活动 u 必须在活动 v 之前进行，并称 u 是 v 的直接前驱， v 是 u 的直接后继。如果存在有向路径<u, u1, u2, …, un, v>，则称 u 是 v 的前驱， v 是 u 的后继。 

AOV 网络中不能出现有向回路（或称为有向环）。不含有向回路的有向图称为有向无环图。

在 AOV 网络中如果出现了有向回路，则意味着某项活动以自己作为先决条件，这是不对的。如果设计出这样的流程图，工程将无法进行。对于程序而言，将陷入死循环。因此，对于给定的AOV 网络，必须先判断它是否是有向无环图。 

2. 拓扑排序 

判断有向无环图的方法是对 AOV 网络构造它的拓扑有序序列，即将各个顶点排列成一个线性有序的序列， 使得 AOV 网络中所有存在的前驱和后继关系都能得到满足。 

构造 AOV 网络全部顶点的拓扑有序序列的运算称为拓扑排序。如果通过拓扑排序能将 AOV 网络的所有顶点都排入一个拓扑有序的序列中，则该 AOV 网络中必定不存在有向环；相反，如果得不到所有顶点的拓扑有序序列，则说明该 AOV 网络中存在有向环，此AOV 网络所代表的工程是不可行的。 

3. 拓扑排序实现方法

对一个 AOV 网络进行拓扑排序的方法为：

• 从 AOV 网络中选择一个入度为 0（即没有直接前驱）的顶点并输出；
• 从 AOV 网络中删除该顶点及该顶点发出的所有边；
• 重复步骤(1)和(2)，直至找不到入度为 0 的顶点。

按照上面的方法进行拓扑排序，其结果有两种情形：第一种，所有的顶点都输出来了，也就是整个拓扑排序完成了；第二种，仍有顶点没有输出，但剩下的图中再也没有入度为 0 的顶点，拓扑排序不能再继续进行下去了，这就说明此图是有环图。下图给出了一个拓扑排序的例子，最后得到的拓扑有序序列为： C5, C1, C4, C3, C2, C6。在该图中，有阴影的顶点表示当前输出的顶点。其拓扑排序过程为：

• 选择一个入度为0的顶点， C5，如图(b)所示，删除C5及发出的每条边；
• 选择一个入度为0的顶点， C1，如图(c)所示，删除C1及发出的每条边；
• 选择一个入度为0的顶点， C4，如图(d)所示，删除C4， C4没有出边；
• 选择一个入度为0的顶点， C3，如图(e)所示，删除C3及发出的每条边；
• 选择一个入度为0的顶点， C2，如图(f)所示，删除C2及发出的每条边；
• 选择一个入度为0的顶点， C6，如图(g)所示，删除C6， C6没有出边。

至此，拓扑排序执行完毕，所有顶点都排在一个线性有序的序列中。